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Le parallele iperboliche
TEOREMA 1
  Nella situazione descritta nel POSTULATO 1, ogni retta passante per P che entra nell'angolo ^ZPX è parallela ad AB.




Le rette passanti per P si dividono in due categorie:
una di cui fanno parte le infinite rette che entrano nell'angolo ^YPX, le quali, se prolungate, intersecano AB o il suo prolungamento;
l'altra di cui fanno parte le rette YPZ e WPX e le infinite rette che entrano nell'angolo ^ZPX, le quali, per quanto prolungate, non incontrano mai la retta AB né il suo prolungamento. Queste ultime sono dunque parallele ad AB.
All'interno della seconda categoria YPZ e WPX occupano una posizione privilegiata, segnano infatti il confine fra una categoria e l'altra.
DEFINIZIONE 1
  Nella situazione descritta dal POSTULATO 1, le rette YPZ e WPX si dicono parallele asintotiche per P ad AB, e le rette passanti per P che entrano in ^ZPX si dicono parallele divergenti per P ad AB.




Basterà ricordare che le parallele asintotiche sono le due più vicine ad AB (nella figura sono disegnate in verde), e le parallele divergenti sono tutte le altre parallele. Proseguendo nella trattazione vedremo il significato degli aggettivi "asintotiche" e "divergenti".

NOTA
La distinzione tra parallelismo asintotico e parallelismo divergente è fatta in riferimento a punti specifici come testimonia il ricorrere della locuzione "per P" nella DEFINIZIONE 1. Per ora non possiamo parlare di una retta semplicemente come di una parallela asintotica o di una parallela divergente senza fare riferimento ad un punto particolare. Vedremo in seguito (TEOREMA 3 e COROLLARIO) che la proprietà di parallelismo, sia asintotico che divergente, è una proprietà della retta globalmente intesa.