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visto fin qui alcuni fra i più caratteristici argomenti
della geometria iperbolica ed è evidente come essa
non si possa affatto considerare come una specie di collezione
di "curiosità" che si possono radunare negando
il postulato euclideo della parallele.
Al contrario, la geometria iperbolica si presenta come un
autentico corpus geometrico in piena regola, tale da costituire
effettivamente una geometria nuova, rispetto a quella di Euclide,
nella quale non valgono certe proprietà euclideo, ma
ne valgono altre, spesso molto interessanti, delle quali non
esiste l'equivalente nella geometria tradizionale.
Il fatto stesso che sia stato possibile presentarla adottando
lo stesso stile e lo stesso tipo di argomentazioni a cui ci
ha abituato la nostra educazione euclidea, è qualcosa
che non deve essere sottovalutato. Possiamo infatti comprendere
meglio il tipo di atteggiamento intellettuale in cui dovettero
trovarsi i fondatori della geometria non euclidea, quando
si trovarono ad aver costruito un edificio la cui solidità,
ricchezza, complessità mostravano di non aver nulla
da invidiare alle teorie geometriche correnti, nei confronti
delle quali , d'altro canto, non si vedevano nascere obiezioni
logiche di sorta.
In questa geometria trovano la loro collocazione naturale
e la loro giustificazione logica le varie scoperte che, nell'esposizione
storica, abbiamo visto effettuate da Saccheri, Lambert, Legendre,
Gauss, Schweikart, Taurinus, Lobacevskij, Bolyai e che, al
loro apparire, erano sembrate sorprendenti e paradossali.
Il lettore arrivato fin qui percorrendo tutte le pagine precedenti
non può fare a meno di restare colpito, riflettendo
sulla eccezionale portata che può spettare, in una
teoria matematica, ad un singolo postulato!
A questo punto non ci resta che porci un importante quesito,
lo stesso che si ponevano i pionieri che portarono alla luce
questa affascinante teoria:
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