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IL LIMITE SUPERIORE PER L'AREA DEI TRIANGOLI

Richiamo il postulato di Gauss (1799):
E' possibile costruire un triangolo la cui area sia maggiore di qualunque area data.
Abbiamo visto che questo postulato, sebbene apparentemente molto distante dal V postulato, è ad esso equivalente, fa dunque parte della geometria euclidea.
Ci aspettiamo dunque che non valga nella nostra geometria, quella iperbolica.

Fra area e difetto di due qualunque triangoli iperbolici ABC e DEF vale la seguente proporzione:
Area(ABC) : difetto(ABC) = Area(DEF) : difetto(DEF)

Supponiamo ora che ABC sia un triangolo generico di cui vogliamo trovare l'area e DEF un triangolo particolare; sia poi k il valore del rapporto Area(DEF) / difetto(DEF).
Otteniamo
Area(ABC) / difetto(ABC) = k,
che possiamo scrivere come
Area(ABC) = k difetto(ABC);

questa è la nostra formula, valida per ogni triangolo ABC.

K è una costante ed è indipendente dal particolare triangolo DEF utilizzato in origine per esprimerla. (E' impossibile conoscerne il valore effettivo, vi sono infinite geometrie iperboliche concepibili, ognuna con un diverso valore di k).

Questa formula ci basterà per concludere che le aree dei triangoli iperbolici sono limitate superiormente, infatti nella geometria iperbolica, proprio come in quella euclidea, è impossibile che un qualsiasi angolo di un triangolo sia di 0°, quindi la somma degli angoli è sempre positiva; allora il difetto

d=180° - ^A - ^B - ^C

di un triangolo ABC è sempre <180°.
Di conseguenza

Area(ABC) = k difetto(ABC) < k 180°
Questa relazione è vera per qualunque triangolo ABC, possiamo quindi concludere che l'area di un triangolo iperbolico è limitata superiormente: nessun triangolo iperbolico può avere un'area che uguagli o superi il valore k 180°.