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L'AREA DI UN TRIANGOLO IPERBOLICO

Quanto è più grande l'area di un triangolo iperbolico, tanto minore è la somma dei suoi angoli.

 DEFINIZIONE
 
Il difetto di un triangolo è ciò che manca alla somma dei suoi angoli per raggiungere 180°.
Il difetto del triangolo ABC sarà d = 180°-a-b-g
I difetti dei triangoli sono additivi, eccone un esempio:
scegliamo un punto D a caso sul lato BC, e tracciamo il segmento AD dividendo ABC in due triangoli più piccoli.


Possiamo verificare immediatamente che la somma dei difetti di questi due triangoli è pari al difetto del triangolo somma.
Infatti:
  d(ABD)+d(ADC) = (180°-a-b-g) + (180°-d-e-f) =
  180°-a-b-g + 180°-d-e-f =
180°-a-b- (g + d) + 180°-e-f=
180°-a-b- 180° + 180°-e-f =
180°-a-b-e-f =
180°-a- (b+e) -f =
180°-a - ^BAC -f = d(ABC)

Si può dimostrare che questo si verifica sempre, indipendentemente dal numero di triangoli e dal modo in cui viene suddiviso ABC.

Naturalmente il fatto che i difetti siano additivi è il motivo per cui i triangoli con area più grande hanno la somma degli angoli minore.
Per chiarire le idee ragioniamo in un caso particolare:

Supponiamo che i triangoli ABC e DEF abbiano aree differenti, e che quella di ABC sia la maggiore;


supponiamo inoltre di poter riportare una copia congruente di DEF all'interno di ABC (questo è il caso particolare).


Tracciando alcune altre linee possiamo suddividere completamente ABC in triangoli più piccoli, uno dei quali è D'E'F'.
Il difetto di ABC sarà la somma dei difetti dei triangoli in cui è stato suddiviso, perciò sarà sicuramente maggiore del difetto di D'E'F' da solo, e quindi la somma degli angoli di ABC è minore di quella di D'E'F', ovvero del triangolo DEF considerato nelle ipotesi.

Abbiamo ragionato su un caso particolare, non potremmo ripetere lo stesso ragionamento con un triangolo DEF la cui forma non potesse essere contenuta in ABC, tuttavia la conclusione sarebbe ancora valida, ma richiederebbe una dimostrazione molto più complicata.

 TEOREMA 19 (generalizzazione del TEOREMA 15)
 
Se la somma dei tre angoli di un triangolo è uguale alla somma dei tre angoli di un altro triangolo, allora i due triangoli hanno la stessa area.

Nell'ipotesi di questo teorema non viene più richiesto che gli angoli siano a due a due uguali, ma solo che la loro somma lo sia; corrispondentemente la tesi è indebolita, infatti non possiamo più concludere che i due triangoli sono congruenti ma solo che hanno la stessa area.