Benché strenuamente avversato da numerosi matematici di fama (uno fra tutti Dieudonné*), oggigiorno l'integrale di Riemann è di solito il primo strumento rigoroso che uno studente apprende ad utilizzare per l'integrazione di funzioni, dopo i metodi naïf delle superiori e prima del più interessante e duttile integrale di Lebesgue. Queste poche pagine si propongono di introdurre l'argomento in modo preciso e il più scorrevolmente possibile.
Nota storica
Il nome di Georg Friedrich Bernhard Riemann è legato non solo a moltissimi risultati di analisi e geometria differenziale, ma ad interi argomenti di queste discipline, come le superfici di Riemann o la celebre funzione zeta di Riemann.
Fra questi, l'integrale di Riemann è quasi una parentesi: compare per la prima volta in una pubblicazione del 1853 sulle serie trigonometriche, che egli aveva presentato all'università di Göttingen come Habilitationsschriftper essere assunto come docente privato. È possibile che Riemann avesse sviluppato un interesse verso queste serie dopo essere venuto in contatto con Dirichlet a Berlino alcuni anni prima.
In quella pubblicazione, Riemann introduce l'uso delle partizioni per studiare i criteri di integrabilità delle funzioni reali; questo strumento, precursore della misura di Jordan, ha come pregio maggiore il permettergli di astenersi dal considerare la continuità o meno della funzione in esame (a posteriori si potrà vedere che le funzioni Riemann integrabili sono quasi ovunque continue).
È la prima definizione rigorosa dell'integrale ad essere costruttiva, al contrario della definizione classica descrittiva newtoniana dell'integrale come anti-derivata. Ad essa seguiranno poi il ben noto integrale di Lebesgue, fondato sulla teoria della misura, e l'integrale di Henstock-Kurzweil, un perfezionamento della definizione di Riemann mirato a supportare certe funzioni non assolutamente integrabili (ad esempio f(x)= 1/x * sin(1/x3)). L'integrale di Riemann, tuttavia, resta il più ben noto e diffuso.
*: "Con il dovuto rispetto al genio di Riemann, è chiaro a qualsiasi matematico di professione che oggi questa 'teoria' ha tutt'al più l'importanza di un esercizio moderatamente interessante della teoria generale della misura ed integrazione [...] Quando si necessita di uno strumento più potente non ha senso fermarsi a metà, e la teoria generale dell'integrazione [alla Lebesgue] è l'unica risposta sensata". - Fondements de l'Analyse Moderne, 1960