teorema fondamentale delle proiettività

17 TEOREMA Supponiamo che gli spazi proiettivi $\mathbf{P(V)}$ e $\mathbf{P(V')}$ abbiano la stessa dimensione, e che tale dimensione sia

Allora, date comunque due

-ple ordinate di punti in posizione generale $P_0,\ldots,P_{n+1}$ in $\mathbf{P(V)}$ e $Q_0,\ldots,Q_{n+1}$ in $\mathbf{P(V')},$ esiste un unico isomorfismo proiettivo $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ tale che

per $i=0,\ldots,n+1.$

Dimostrazione
Esistenza $\; \;$ Siano $P_i=[\mathbf{v_i} ]$ e $Q_i=[\mathbf{w_i} ]$ per $i=0,\ldots,n+1.$
I punti $P_0,\ldots,P_{n+1}$ sono in posizione generale, quindi (proposizione 17 della sezione "Riferimenti proiettivi") $\mathbf{v_0},\ldots,\mathbf{v_{n}}$ sono linearmente indipendenti e $\mathbf{v_{n+1}}=\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i},$ con $\lambda_i \neq 0$ per ogni $i=0,\ldots,n$ e analogamente $\mathbf{w_0},\ldots,\mathbf{w_{n}}$ sono linearmente indipendenti e $\mathbf{w_{n+1}}=\sum_{i=0}^{n} \mu_i \mathbf{w_i},$ con $\mu_i \neq 0$ per ogni $i=0,\ldots,n.$
Notiamo che allora $(\lambda_0 \mathbf{v_0},\ldots,\lambda_n \mathbf{v_n})$ e $(\mu_0 \mathbf{w_0},\ldots,\mu_n \mathbf{w_n})$ sono basi rispettivamente per $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V'}.$
Si può pertanto costruire l'isomorfismo vettoriale

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \varphi: & \mathbf{V} & \longrightarrow &... ..._i \mathbf{v_i} & \longmapsto & \mu_i \mathbf{w_i} \end{array}\end{displaymath}$

Sia

l'isomorfismo proiettivo indotto da $\varphi.$ Tale

soddisfa le proprietà desiderate, infatti $f(P_i)=f([\lambda_i \mathbf{v_i} ])=[\varphi (\lambda_i \mathbf{v_i})]=[\mu_i \mathbf{w_i}]=Q_i$ per ogni $i=0,\ldots,n.$ Inoltre $f(P_{n+1})=f([\mathbf{v_{n+1}}])=f([\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i}])=[\v... ...}\varphi(\lambda_i \mathbf{v_i}) ]=[\sum_{i=0}^{n} \mu_i \mathbf{w_i}]=Q_{n+1}.$

Unicità $\; \;$ Sia $f':\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ un altro isomorfismo proiettivo di talfatta; allora

è associato ad un isomorfismo lineare $\varphi: \mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V'}$ tale che $\varphi'(\mathbf{v_i})=\gamma_i \mathbf{w_i},$ dato che

per $i=0,\ldots,n.$ Proviamo che $\varphi$ e $\varphi'$ sono proporzionali

questo implica, per proposizione 12, che

implica, per linearità, che $\varphi'(\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i})=\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \gamma_i \mathbf{w_i}.$ D'altra parte $f'(P_{n+1})=Q_{n+1},$ per cui $\varphi' ( \mathbf{v_{n+1}})=\varphi'(\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i})=\rho \sum_{i=0}^{n} \mu_i \mathbf{w_i}$ $(\rho \neq 0).$
Ne segue $\sum_{i=0}^{n} (\lambda_i \gamma_i) \mathbf{w_i}=\sum_{i=0}^{n} (\rho_i \mu_i) \mathbf{w_i}$ , ed essendo $\mathbf{w_0},\ldots,\mathbf{w_{n}}$ una base, $\lambda_i \gamma_i=\rho \mu_i$ per $i=0, \ldots,n,$ da cui $\varphi'(\lambda_i \mathbf{v_i})=\lambda_i \gamma_i \mathbf{w_i}=\rho \mu_i \mathbf{w_i}=\rho \varphi (\lambda_i \mathbf{v_i}).$ Quindi $\varphi'=\rho \varphi$ $(\rho \neq 0).$