15 DEFINIZIONE   Siano $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V'}$ spazi vettoriali di dimensioni rispettivamente $n+1$ ed $s+1,$ con basi rispettivamente $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B'}.$
Sia $\varphi:\mathbf{V} \longrightarrow \mathbf{V'}$ un'applicazione lineare e iniettiva, siano $\mathbf{v}=(x_1,\ldots,x_n)_{\mathcal{B}}$ e $\varphi (\mathbf{v})=(y_1,\ldots,y_n)_{\mathcal{B'}};$ ricordiamo che le equazioni di $\varphi$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B'}$ sono date da $\mathsf{Y}=\mathsf{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\varphi)\mathsf{X},$ dove $\mathsf{Y}=\left( \begin{array}{c} y_0 \\ \vdots \\ y_s \end{array}\right)$ e $\mathsf{X}=\left( \begin{array}{c} x_0 \\ \vdots \\ x_n \end{array}\right).$ Sia $f:\mathbf{P(V)} \longrightarrow \mathbf{P(V')}$ il morfismo proiettivo indotto da $\varphi,$ e siano infine $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'}$ i riferimenti proiettivi rispettivamente su $\mathbf{P(V)}$ e $\mathbf{P(V')}$ associati alle basi $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B'}.$
Le equazioni $\mathsf{Y}=\mathsf{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\varphi)\mathsf{X}$ sono dette equazioni di $f$ rispetto ai riferimenti $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'};$ ma attenzione: se $P=[a_0,\ldots,a_n]_{\mathcal{P}}$ e $f(P)=[b_0,\ldots,b_s]_{\mathcal{P'}},$ possiamo solo dire che esiste $\rho \in \mathrm{K}^{\ast}$ tale che

\begin{displaymath}\rho \left( \begin{array}{c} b_0 \\ \vdots \\ b_s \end{arr... ...t( \begin{array}{c} a_0 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right)\end{displaymath}

Si dice anche che la matrice $\mathsf{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\varphi)$ rappresenta $f$ rispetto ai riferimenti proiettivi $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'}.$

16 OSSERVAZIONE   Nelle medesime ipotesi della proposizione precedente, una matrice $\mathsf{A}$ rappresenta $f$ rispetto ai riferimenti proiettivi $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'}$ se e solo se esiste $\mu \in \mathrm{K}^{\ast}$ tale che $\mathsf{A}=\mu \mathsf{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\varphi).$

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