esempi

19 ESEMPIO Dato $\mathbf{P^1(R)}$ col riferimento proiettivo standard, si vede subito che esiste una proiettività tale che

$\begin{displaymath}f([1,2])=[1,3], \; f([0,1])=[2,1], \; f([4,4])=[1,0].\end{displaymath}$

Infatti le due terne di punti sono in posizione generale, quindi (proposizione 17) esiste un'unica

siffatta. Siano ora

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} \mathbf{v_0}=(1,2), & \mathbf{v_1}=(0,1),... ...(1,3), & \mathbf{w_1}=(2,1), & \mathbf{w_2}=(1,0). \end{array}\end{displaymath}$

Allora $\mathbf{v_2}=4\mathbf{v_0}-4\mathbf{v_1}$ e $\mathbf{w_2}=-\frac{1}{5} \mathbf{w_0}+\frac{3}{5}\mathbf{w_1}.$ Un'applicazione $\varphi:\mathbf{R^2} \longrightarrow \mathbf{R^2}$ che induce

sarà quindi l'automorfismo

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \varphi: & \mathbf{R^2} & \longrightarr... ... \frac{3}{5}\mathbf{w_1}=(\frac{6}{5},\frac{3}{5}) \end{array}\end{displaymath}$

Siano $\mathcal{B}=(4\mathbf{v_0},-4\mathbf{v_1})$ e $\mathcal{B'}=(-\frac{1}{5}\mathbf{w_0},\frac{3}{5}\mathbf{w_1}).$
Le equazioni di

rispetto al riferimento $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ dato dai punti $[1,2], \; [0,1], \;[4,4]$ e al riferimento $\mathcal{P'} = \{ \mu \mathcal{B'} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ dato dai punti $[1,3], \; [2,1], \; [1,0]$ sono:

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} y_0=x_0 \\ y_1=x_1. \end{array} \right.\end{displaymath}$

Invece le equazioni di

rispetto al riferimento proiettivo standard $\mathcal{S}$ sono rappresentate dalla matrice

$\begin{displaymath}\mathsf{M}_{\mathcal{E}}(\varphi)= \mathsf{M}_{\mathcal{E},\m... ...{id}) (\mathsf{M}_{\mathcal{E},\mathcal{B}}(\mathsf{id}))^{-1},\end{displaymath}$

cioè dalla matrice

$\begin{displaymath}\frac{1}{5} \left( \begin{array}{cc} -1 & 6 \\ -3 & 3 \end{... ...( \begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 8 & -4 \end{array} \right)^{-1},\end{displaymath}$

che è esattamente

$\begin{displaymath}\frac{1}{5} \left( \begin{array}{cc} -1 & 6 \\ -3 & 3 \end{... ...eft( \begin{array}{cc} -11 & 6 \\ -3 & 3 \end{array} \right).\end{displaymath}$

Quindi equazioni di rispetto ad $\mathcal{S}$ sono

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{l} y_0=-11x_0+6x_1 \\ y_1=-3x_0+3x_1. \end{array} \right.\end{displaymath}$