equazioni del cambiamento di coordinate omogenee

20 DEFINIZIONE Siano $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ e $\mathcal{P'} = \{ \mu \mathcal{B'} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ due riferimenti proiettivi su $\mathbf{P(V)},$ dove $\mathcal{B}$ e $\mathcal{B'}$ sono basi di $\mathbf{V}.$
Allora le equazioni dell'identità su $\mathbf{P(V)}$ rispetto ai riferimenti proiettivi $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'}$ sono dette equazioni del cambiamento di coordinate omogenee da $\mathcal{P}$ a $\mathcal{P'.}$

21 OSSERVAZIONE Siano $\mathcal{P}$ e $\mathcal{P'}$ come nella definizione precedente. Sia $P=[x_0,\ldots,x_n]_{\mathcal{P}}.$
Allora esistono coordinate omogenee $[y_0,\ldots,y_n]$ per

tali che $P=[y_0,\ldots,y_n]_{\mathcal{P'}}$ e

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{c} y_0 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \... ...( \begin{array}{c} x_0 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right).\end{displaymath}$

Viceversa: se $P=[a_0,\ldots,a_n]_{\mathcal{P}}= [b_0,\ldots,b_n]_{\mathcal{P'}},$ allora esiste $\rho \in \mathrm{K}^{\ast}$ tale che

$\begin{displaymath}\rho \left( \begin{array}{c} b_0 \\ \vdots \\ b_n \end{arr... ...( \begin{array}{c} a_0 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right).\end{displaymath}$

22 OSSERVAZIONE Siano $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}},$ $\mathcal{P'} = \{ \mu \mathcal{B'} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}},$ $\mathcal{P''} = \{ \mu \mathcal{B''} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ tre riferimenti proiettivi su $\mathbf{P(V)},$ dove $\mathcal{B},$ $\mathcal{B'},$ $\mathcal{B''}$ sono basi di $\mathbf{V}.$
Allora le equazioni del cambiamento di coordinate omogenee da $\mathcal{P}$ a $\mathcal{P''}$ sono date dalla matrice

$\begin{displaymath}\mathsf{M}_{\mathcal{B''},\mathcal{B'}}(\mathsf{id}_{\mathbf{... ...mathsf{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\mathsf{id}_{\mathbf{V}}),\end{displaymath}$

mentre il cambiamento di coordinate omogenee da $\mathcal{P'}$ a $\mathcal{P}$ è espresso dalla matrice

$\begin{displaymath}\mathsf{M}_{\mathcal{B},\mathcal{B'}}(\mathsf{id}_{\mathbf{V}... ...{M}_{\mathcal{B'},\mathcal{B}}(\mathsf{id}_{\mathbf{V}}))^{-1}.\end{displaymath}$