sottoinsiemi proiettivamente equivalenti

23 DEFINIZIONE Due qualsiasi sottoinsiemi (o figure) $\mathrm{J}$ e $\mathrm{J'}$ dello spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ sono detti proiettivamente equivalenti se esiste $f \in \mathrm{PGL}(\mathbf{P(V)})$ tale che $f(\mathrm{J})=\mathrm{J'}.$

24 ESEMPIO Due sottospazi proiettivi

di $\mathbf{P(V)}$ aventi la stessa dimensione sono proiettivamente equivalenti.
Infatti, se $S=\mathbf{P(W)}$ ed $S'=\mathbf{P(W')}$ con $\mathbf{W}$ e $\mathbf{W'}$ sottospazi vettoriali di $\mathbf{V},$ esiste $\varphi \in \mathrm{GL}(\mathbf{V})$ tale che $\varphi (\mathbf{W})=\mathbf{W'};$ pertanto, se

è la proiettività indotta da $\varphi,$ allora

25 DEFINIZIONE Le proprietà comuni a tutte le figure proiettivamente equivalenti ad un sottinsieme $\mathrm{J}$ si dicono proprietà proiettive di $\mathrm{J}.$

26 OSSERVAZIONE Dal teorema 17 segue che due sottoinsiemi di $\mathbf{P(V)}$ costituiti ognuno da

punti in posizione generale sono proiettivamente equivalenti se $k \leq \dim \mathbf{P(V)}+2.$
Se invece $k > \dim \mathbf{P(V)}+2,$ ciò non è vero già nel caso di

punti di una retta proiettiva.