punti in posizione generale

16 DEFINIZIONE I punti $P_1, \ldots, P_t \in \mathbf{P(V)}$ sono detti in posizione generale se sono linearmente indipendenti

e in questo caso $t \leq n +1),$ oppure se

tra questi, comunque scelti, sono linearmente indipendenti.

17 PROPOSIZIONE Siano $P_0 = [\mathbf{v_0}], \ldots, P_{n+1} = [\mathbf{v_{n+1}}]$ punti di $\mathbf{P(V)}$ con $\dim \mathbf{V} = n+1.$ Allora questi n+2 punti sono in posizione generale se e solo se esistono n+1 punti tra questi linearmente indipendenti (ad esempio: $P_0, \ldots, P_n$ ) e l'ultimo è tale che $P_{n+1} = [\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i}],$ dove $\lambda_i \neq 0$ per ogni $i = 0, \ldots, n.$

Dimostrazione
$\Rightarrow \; )$ Siano $P_0, P_1, \ldots, P_{n+1}$ in posizione generale, allora $\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n}$ sono vettori linearmente indipendenti in $\mathbf{V},$ e sia $\mathbf{v_{n+1}} = \sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i}$ $(\mathbf{v_{n+1}}$ è sicuramente combinazione lineare di $\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n},$ perché questi sono n+1 vettori linearmente indipendenti in $\mathbf{V},$ spazio vettoriale di dimensione n+1, quindi sono una base di $\mathbf{V}).$
Se esiste $\lambda_i$ tale che $\lambda_i = 0$ (ad esempio: $\lambda_0$ ), allora $\mathbf{v_{n+1}} = \lambda_1 \mathbf{v_{1}} + \cdots + \lambda_n \mathbf{v_{n}}.$ Di qui deriva $\lambda_1 \mathbf{v_{1}} + \cdots + \lambda_n \mathbf{v_{n}} - \mathbf{v_{n+1}} = 0.$ Quindi $P_1, \ldots, P_{n+1}$ sono linearmente dipendenti. ASSURDO! (per definizione di n+2 punti in posizione generale).

$\Leftarrow \; )$ Siano $P_0, \ldots, P_n$ linearmente indipendenti e $P_{n+1} = [\sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i}]$ con $\lambda_i \neq 0$ per ogni $i = 0, \ldots, n.$ Proviamo che n+1 punti qualsiasi tra $P_0, \ldots, P_{n + 1}$ sono linearmente indipendenti. Dimostriamo per esempio che $P_1, \ldots, P_{n+1}$ sono linearmente indipendenti (le altre dimostrazioni sono analoghe).
Essi lo sono se e solo se (definizione 8) lo sono i vettori $\mathbf{v_{1}}, \ldots, \mathbf{v_{n + 1}}$ in $\mathbf{V}.$ Sia dunque $a_1 \mathbf{v_{1}} + \cdots + a_{n + 1} \mathbf{v_{n + 1}} = 0,$ cioè $a_1 \mathbf{v_{1}} + \cdots + a_{n + 1} (\lambda_0 \mathbf{v_{0}} + \cdots + \lambda_n \mathbf{v_{n}}) = 0.$ Questo vale se e solo se $\lambda_0 a_{n + 1} \mathbf{v_{0}} + (a_1 + a_{n + 1} \lambda_1) \mathbf{v_{1}} + \cdots + (a_n + a_{n + 1} \lambda_n) \mathbf{v_{n}} = 0,$ quindi $(\mathbf{v_{0}}, \ldots, \mathbf{v_{n}}$ linearmente indipendenti

$\lambda_0 a_{n + 1} = 0,\; a_1 + a_{n + 1} \lambda_1 = 0, \ldots, a_n + a_{n + 1} \lambda_n = 0.$ Poiché $\lambda_0 \neq 0,$ allora $a_{n + 1} = 0,$ e cosí $a_1, \ldots, a_n = 0,$ cioè $P_1, \ldots, P_{n+1}$ sono linearmente indipendenti.