dipendenza lineare di punti

7 PROPOSIZIONE In un $\mathrm{K}$ -spazio vettoriale $\mathbf{V},$ i vettori $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_h}$ sono linearmente indipendenti (abbreviato in l. i.), rispettivamente linearmente dipendenti (abbreviato in l. d.), se e solo se lo sono i vettori $\mathbf{u_1} = \lambda_1 \mathbf{v_1},\mathbf{u_2} = \lambda_2 \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{u_h} = \lambda_h \mathbf{v_h},$ ottenuti moltiplicando i $\mathbf{v_i}$ per scalari $\lambda_i \in \mathrm{K}^{\ast}, i = 1, \ldots, h.$

Dimostrazione
I vettori $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots, \mathbf{v_h}$ sono linearmente dipendenti se e solo se esistono h scalari non tutti nulli $\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_h \in \mathrm{K}$ tali che $\sum_{i=1}^{h} \mu_i \mathbf{v_i} = 0.$ Questo vale se e solo se $\sum_{i=1}^{h} \frac{\mu_i}{\lambda_i} (\lambda_i \mathbf{v_i}) = 0$ con $\frac{\mu_i}{\lambda_i}$ scalari non tutti nulli, cioè se e solo se $\lambda_1 \mathbf{v_1}, \lambda_2 \mathbf{v_2}, \ldots, \lambda_h \mathbf{v_h}$ sono linearmente dipendenti.

8 DEFINIZIONE Dato lo spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ , diciamo che h punti $P_1 = [\mathbf{v_1} ], \ldots, P_h = [\mathbf{v_h} ] \in \mathbf{P(V)}$ sono linearmente dipendenti (l. d.) oppure linearmente indipendenti (l. i.) se lo sono i vettori $\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_h}$ in $\mathbf{V}.$
In virtú della proposizione 7, tale definizione è ben posta, perché la dipendenza lineare non dipende dai rappresentanti delle classi $[\mathbf{v}_i]_{\sim}.$