esempio

6 ESEMPIO Consideriamo la base $\mathcal{B} = (\mathbf{v_0}, \mathbf{v_1})$ di $\mathbf{R^2}$ e modifichiamola moltiplicando ciascun vettore per scalari diversi, per esempio prendendo la base $\mathcal{B'} = (2 \mathbf{v_0}, 3 \mathbf{v_1}).$ Allora le coordinate proiettive cambiano (da notare che, al contrario, come visto nella proposizione 3, se modifichiamo $\mathcal{B}$ moltiplicando tutti i vettori per lo stesso scalare $\mu \neq 0,$ le coordinate proiettive non cambiano).
Infatti sia $\mathbf{v} = (x_0, x_1)_{\mathcal{B}}.$ Allora $\mathbf{v} = x_0 \mathbf{v_0} + x_1 \mathbf{v_1} = \frac{x_0}{2} (2 \mathbf{v_0}) + \frac{x_1}{3} (3 \mathbf{v_1}).$ Quindi $\mathbf{v} = (x_0, x_1)_{\mathcal{B}} = (\frac{x_0}{2}, \frac{x_1}{3})_{\mathcal{B'}} = (y_0, y_1)_{\mathcal{B'}},$ dove

Sia $\mathcal{P'} = \{ \mu \mathcal{B'} \} _{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ il riferimento proiettivo associato a $\mathcal{B'}.$ Allora

$\begin{displaymath}[\mathbf{v} ]_{\mathcal{P}} = [x_0, x_1]_{\mathcal{P}} = [2 ... ...P}} = [y_0, y_1]_{\mathcal{P'}} \neq [y_0, y_1]_{\mathcal{P}}.\end{displaymath}$