osservazione e proposizione

18 OSSERVAZIONE Per generare uno spazio proiettivo di dimensione n, occorrono n+1 punti linearmente indipendenti. Ma per individuare un riferimento proiettivo occorrono n+2 punti in posizione generale. Infatti vale la seguente

19 PROPOSIZIONE
a) Se $\mathcal{P}$ è un riferimento proiettivo su $\mathbf{P(V)},$ allora i suoi punti fondamentali e il punto unità sono n+2 punti in posizione generale.

b) Viceversa, dati n+2 punti in posizione generale, allora, fissato comunque un ordine tra questi, e detti $P_0, \ldots, P_n$ i primi n+1 e $P_{n + 1}$ l'altro, esiste un unico riferimento proiettivo tale che $P_0, \ldots, P_n$ sono i punti fondamentali e $P_{n + 1}$ il punto unità.

Dimostrazione
a) Segue dalla proposizione 17.

b) Siano $P_i = [\mathbf{v_i} ]$ per $i = 0, \ldots, n + 1$ in posizione generale. Allora (proposizione 17) $P_0, \ldots, P_n$ sono linearmente indipendenti e $\mathbf{v_{n + 1}} = \sum_{i=0}^{n} \lambda_i \mathbf{v_i}$ con $\lambda_i \neq 0$ per ogni $i = 0, \ldots, n.$ Quindi (proposizione 7) $\mathcal{B} = (\lambda_0 \mathbf{v_0}, \ldots, \lambda_n \mathbf{v_n})$ è una base di $\mathbf{V}.$
Se consideriamo il riferimento proiettivo $\mathcal{P}$ associato a $\mathcal{B},$ troviamo che $P_0, \ldots, P_n$ sono i punti fondamentali e $P_{n + 1}$ è il punto unità.
Facciamo vedere che tale riferimento è unico.
Sia $\mathcal{P'}$ un altro riferimento siffatto. Allora $\mathcal{P'}$ sarà associato ad una base $\mathcal{B'}$ che è necessariamente del tipo $(\mu_0 \mathbf{v_0}, \ldots, \mu_n \mathbf{v_n}),$ con $\mu_i \in \mathrm{K}^{\ast}$ per ogni $i = 0, \ldots, n.$ Inoltre deve essere $\sum_{i=0}^{n} \mu_i \mathbf{v_i} = \varrho \mathbf{v_{n + 1}},$ con $\varrho \neq 0.$ Allora $\frac{\mu_0}{\varrho} \mathbf{v_0} + \cdots + \frac{\mu_n}{\varrho} \mathbf{v_n} = \lambda_0 \mathbf{v_0} + \cdots + \lambda_n \mathbf{v_n}.$ Quindi $(\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n}$ è una base di $\mathbf{V})$ $\frac{\mu_0}{\varrho} = \lambda_0, \ldots, \frac{\mu_n}{\varrho} = \lambda_n,$ cioè $\mu_0 = \lambda_0 \varrho, \ldots, \mu_n = \lambda_n \varrho.$
Questo significa che $\mathcal{B'} = \varrho \mathcal{B},$ cioè $\mathcal{P} = \mathcal{P'}.$