2 PROPOSIZIONE   Se $S$ è un sottospazio proiettivo di $\mathbf{P(V)},$ allora $C_P (S)=L(S,P)$ per ogni $P \in \mathbf{P(V)}.$
In particolare: se $S$ è un punto e $P \neq S,$ allora $C_P (S)$ è la retta che contiene $S$ e $P.$

Dimostrazione
Siano $P=[\mathbf{v} ]$ ed $S=\mathbf{P(S')}$ con $\mathbf{S'}=<\mathbf{w_1},\ldots, \mathbf{w_r} >.$
Allora $C_P (S)=\bigcup_{Q \in S}L(P,Q),$ e, ponendo $Q=[\mathbf{w} ],$ otteniamo, secondo l'esempio 17 della sezione "Sottospazi proiettivi", $C_P (S)=\bigcup_{[\mathbf{w} ] \in S}\mathbf{P(<v,w>)}.$ Sappiamo però che $[\mathbf{w} ] \in S$ se e solo se $<\mathbf{w} > \subset \mathbf{S'},$ cioè se e solo se $\mathbf{w} \in \mathbf{S'},$ quindi

\begin{displaymath}C_P (S)=\bigcup_{\mathbf{w} \in \mathbf{S'}}\mathbf{P(<v,w>)}.\end{displaymath}

Il secondo membro di tale uguaglianza è esattamente $\mathbf{P(\bigcup_{w \in S'}<v,w>)},$ ed è facile dimostrare che quest'ultimo è uguale a $\mathbf{P(<v,w_1,\ldots,w_r>)}.$ Quindi

\begin{displaymath}C_P (S)=\mathbf{P(<v,w_1,\ldots,w_r>)}=L(P,S).\end{displaymath}

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