3 PROPOSIZIONE   Se $S$ e $T$ sono due sottospazi proiettivi di $\mathbf{P(V)},$ allora vale

\begin{displaymath}L(S,T)=\bigcup_{P \in T}C_P (S)=\bigcup_{Q \in S}C_Q (T).\end{displaymath}

Dimostrazione
Il sottospazio somma di $S$ e $T,$ cioè $L(S,T),$ non è altro che $\bigcup_{Q \in S}L(Q,T),$ che, per la proposizione 2, è uguale a

\begin{displaymath}\bigcup_{Q \in S}C_Q(T)=\bigcup_{Q \in
S}\bigcup_{P \in T}L(Q,P)=\bigcup_{P \in T}C_P (S).\end{displaymath}

4 ESEMPIO   Sia $r$ una retta proiettiva in $\mathbf{P^2(R)}$ e sia $P \not\in r.$
Allora $C_P (r)=L(P,r)=\mathbf{P^2(R)}.$ Infatti $\dim L(P,r)=\dim P+\dim r
-\dim (P\cap r)=0+1-(-1)=2.$

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