esempi

5 ESEMPIO Siano $A=[0,1,2],\; B=[-1,0,1],\; P=[0,0,1] \in \mathbf{P^2(R)}.$ Allora $C_P \{ A,B \} =L(A,P) \cup L(B,P).$ Dato che $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=2$ e $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)=2,$ allora equazioni cartesiane per

e per

sono (esempio 14 della sezione "Equazioni di un sottospazio proiettivo"): $L(A,P):\left\vert \begin{array}{ccc} x_0 & x_1 & x_2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\vert =0,$ cioè

$L(B,P):\left\vert \begin{array}{ccc} x_0 & x_1 & x_2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right\vert =0,$ cioè

Quindi $C_P \{ A,B \} = \{ [x_0,x_1,x_2] \in \mathbf{P^2(R)}:x_0 =0 \} \cup \{ [x_0,x_1... ...n \mathbf{P^2(R)}:x_1 =0 \}=\{ [x_0,x_1,x_2] \in \mathbf{P^2(R)}:x_0 x_1 =0 \}$ (infatti $\mathbf{R}$ è un campo, quindi il prodotto

è nullo se e solo se uno dei due fattori è nullo).

6 ESEMPIO In $\mathbf{P^3(R)}$ consideriamo la retta $r=\{ [\lambda +\mu,2\mu,3\mu,0]:(\lambda,\mu)\neq (0,0) \}$ e il punto $P=[0,0,0,1] \not\in r.$
Allora

è il piano di equazioni parametriche $\left\{ \begin{array}{l} x_0 =\lambda +\mu \\ x_1=2\mu \\ x_2=3\mu \\ x_3 =\gamma \end{array} \right.$ con $(\lambda,\mu,\gamma)\neq (0,0,0)$ parametri omogenei.