proiezione di centro un punto su un iperpiano

7 DEFINIZIONE In $\mathbf{P(V)}$ siano

un iperpiano e

un punto, $Q \not\in H.$
La proiezione di $\mathbf{P(V)}$ su

di centro

è l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \pi_{Q,H}: & \mathbf{P(V)} \backslash \{Q... ...arrow & H. \\ \; & T & \longmapsto & L(T,Q)\cap H \end{array}\end{displaymath}$

Notiamo che tale definizione ha senso, perché $Q \not\in H,$ quindi $L(T,Q) \not\subset H,$ pertanto (vedi esercizio 8 della sezione "Sottospazi proiettivi") $L(T,Q) \cap H$ è un punto. L'applicazione $\pi_{Q,H}$ è quindi l'applicazione che associa a un punto $T \neq Q$ il punto di intersezione di con la retta congiungente e

8 OSSERVAZIONE Se $\mathrm{J} \subset\mathbf{P(V)}$ è un sottoinsieme non vuoto tale che $Q \not\in \mathrm{J},$ allora si ha: $\pi_{Q,H}(\mathrm{J})=\bigcup_{P \in \mathrm{J}}(L(P,Q)\cap H)=(\bigcup_{P \in \mathrm{J}}L(P,Q))\cap H=C_Q (\mathrm{J})\cap H,$ cioè $\pi_{Q,H}(\mathrm{J})$ è l'intersezione del cono proiettante $\mathrm{J}$ da

con l'iperpiano

L'insieme $\pi_{Q,H}(\mathrm{J})$ viene chiamato proiezione di $\mathrm{J}$ da

9 OSSERVAZIONE L'operazione "proiettare un sottoinsieme di $\mathbf{P(V)}$ su un iperpiano" è la versione geometrica astratta dell'operazione grafica di rappresentare un oggetto tridimensionale $\mathrm{J}$ su di un piano

cosí come esso appare da un punto di osservazione

si veda la sezione "La prospettiva".