proiezione di centro un sottospazio su un sottospazio

12 OSSERVAZIONE In generale, se $\dim \mathbf{P(V)}=n,$ si può considerare la proiezione di centro

dove

sono sottospazi proiettivi di $\mathbf{P(V)}$ tali che $S \cap S' =\emptyset$ e $\dim L(S,S')=n,$ definita come:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccl} \pi_{S,S'}: & \mathbf{P(V)} \setminus S &... ...row & S'. \\ \; & T & \longmapsto & L(T,S) \cap S' \end{array}\end{displaymath}$

Tale definizione ha senso, infatti $\dim (L(S,T) \cap S')=\dim L(S,T)+\dim S' -\dim L(L(S,T),S').$ Ma $n=\dim L(S,S') \leq \dim L(L(S,T),S') \leq \dim \mathbf{P(V)}=n,$ quindi $\dim L(L(S,T),S')=n=\dim S+\dim S' -\dim (S\cap S')=\dim S+\dim S'-(-1).$
Questo implica che $\dim (L(S,T) \cap S')=\dim L(S,T)+\dim S'-\dim S-\dim S' -1;$ inoltre, poiché abbiamo a che fare con un punto $T \not\in S,$ allora $\dim L(S,T)=\dim S+1,$ pertanto

$\begin{displaymath}\dim (L(S,T) \cap S')=\dim S+1 +\dim S'-\dim S-\dim S' -1=0.\end{displaymath}$

Quindi la proiezione del punto

è sempre un punto.