Vediamo che $L(S,T)=\bigcup_{Q \in S} L(Q,T).$
Siano $S=\mathbf{P(S')},$ $T=\mathbf{P(T')},$ $Q=[\mathbf{v} ] \in S.$
L'uguaglianza cercata vale, per l'osservazione 13 della sezione "Sottospazi proiettivi", se e solo se $\mathbf{P(S' +T')}=\bigcup_{\mathbf{v} \in \mathbf{S'}} \mathbf{P}(<\mathbf{v}>+\mathbf{T'}).$ Quest'ultima uguaglianza è facilmente dimostrabile, infatti $A=[\mathbf{a}] \in \mathbf{P(S' +T')}$ se e solo se $\mathbf{a} \in \mathbf{S' +T'},$ cioè se e solo se esistono $\mathbf{v} \in \mathbf{S'}$ e $\rho \in \mathrm{K}^{\ast},$ tali che $\mathbf{a}=\rho \mathbf{v} +\mathbf{w}$ con $\mathbf{w} \in \mathbf{T'},$ cioè se e solo se esiste $\mathbf{v} \in \mathbf{S'}$ tale che $\mathbf{a} \in \; <\mathbf{v}> +\mathbf{T'},$ quindi se e solo se esiste $\mathbf{v} \in \mathbf{S'}$ tale che $A \in \mathbf{P}(<\mathbf{v}>+\mathbf{T'}),$ cioè se e solo se $A \in \bigcup_{\mathbf{v} \in \mathbf{S'}} \mathbf{P}(<\mathbf{v}>+\mathbf{T'}).$