sottospazi proiettivi generati da un sottoinsieme

12 OSSERVAZIONE Siano $\mathrm{J}$ ed $\mathcal{F}$ come nella definizione 9. Sia $\mathcal{G}$ la famiglia dei sottospazi vettoriali $\mathbf{W}$ di $\mathbf{V}$ tali che $\mathrm{J} \subseteq \mathbf{P(W)}.$ Allora $L(\mathrm{J}) = \bigcap_{ \small {S \in \mathcal{F}}} S = \bigcap_{\small {\mathbf{W} \in \mathcal{G}}} \mathbf{P(W)}.$
Sia ora $\mathcal{H}$ la famiglia dei sottospazi vettoriali $\mathbf{W}$ di $\mathbf{V}$ tali che $\pi^{-1} (\mathrm{J}) \subseteq \mathbf{W}.$ Dall'osservazione 11 segue subito che $\mathcal{G} = \mathcal{H},$ quindi che

$\begin{displaymath}\bigcap_{\small {\mathbf{W} \in \mathcal{G}}} \mathbf{P(W)} =... ...\mathcal{H}}} \mathbf{W}) = \mathbf{P}(<\pi^{-1} (\mathrm{J}>),\end{displaymath}$

dove la seconda uguaglianza segue dalla proposizione 7.

Quindi costruire $L(\mathrm{J})$ equivale a fare la proiettivizzazione del sottospazio vettoriale generato da $\pi^{-1} (\mathrm{J}).$

13 OSSERVAZIONE Se $S = \mathbf{P(W)}$ e $T = \mathbf{P(U)}$ sono sottospazi proiettivi di $\mathbf{P(V)},$ si ha

$\begin{displaymath}L(S \cup T) \stackrel{\mathrm{oss. 12}}{=} \mathbf{P}(<\pi^{... ...athbf{P(<(W \cup U) \backslash \{0\} >)} = \mathbf{P(W + U)}. \end{displaymath}$