intersezione di sottospazi

7 PROPOSIZIONE Sia $\{ \mathbf{P(W_i)} \}_{i \in \mathrm{I}}$ una famiglia di sottospazi proiettivi di $\mathbf{P(V)}.$ Allora vale l'uguaglianza

$\begin{displaymath}\bigcap_{i \in \mathrm{I}} \mathbf{P(W_i)} = \mathbf{P(\bigcap_{i \in \mathrm{I}} W_i)},\end{displaymath}$

quindi $\bigcap_{i \in \mathrm{I}} \mathbf{P(W_i)}$ è ancora un sottospazio proiettivo, poiché $\bigcap_{i \in \mathrm{I}} \mathbf{W_i}$ è un sottospazio vettoriale.

Dimostrazione
Si ha: $[\mathbf{v} ] \in \bigcap_{i \in \mathrm{I}} \mathbf{P(W_i)}$ se e solo se $[\mathbf{v} ] \in \mathbf{P(W_i)}$ per ogni $i \in \mathrm{I}.$ Ma $\mathbf{P(W_i)},$ per definizione, ha per elementi i sottospazi vettoriali di dimensione uno di $\mathbf{V}$ che sono contenuti in $\mathbf{W}_i ,$ quindi la relazione precedente vale se e solo se $<\mathbf{v} > \subseteq \mathbf{W_i}$ per ogni $i \in \mathrm{I},$ cioè se e solo se $<\mathbf{v} > \subseteq \bigcap_{i \in \mathrm{I}} \mathbf{W_i},$ e quindi se e solo se $[\mathbf{v} ] \in \mathbf{P(\bigcap_{i \in \mathrm{I}} W_i)}.$

8 ESERCIZIO