esempi

5 ESEMPIO Per determinare i sottospazi proiettivi di $\mathbf{P^1}(\mathrm{K}) = \mathbf{P}(\mathrm{K}^2),$ dobbiamo vedere (secondo l'osservazione 4) come sono fatti i sottospazi vettoriali di $\mathrm{K}^2,$ che possiamo classificare secondo la dimensione. Sia allora $\mathbf{W} \subseteq \mathrm{K}^2$ un sottospazio vettoriale.

$\;$

Se $\dim \mathbf{W} = 0,$ allora $\mathbf{W} = \{ \mathbf{0} \}.$ In questo caso il sottospazio proiettivo associato è $\mathbf{P(W)} = \emptyset \subset \mathbf{P^1}(\mathrm{K}).$
Se $\dim \mathbf{W} = 1,$ allora sicuramente sarà $\mathbf{P(W)} = \{ \mathbf{W} \} \subseteq \mathbf{P^1}(\mathrm{K});$ $\mathbf{P(W)}$ è cioè l'insieme costituito solo dal punto $\mathbf{W}.$
Quindi gli elementi di $\mathbf{P^1}(\mathrm{K})$ sono identificabili ai sottospazi proiettivi di dimensione 0 (questo vale in generale: i punti di $\mathbf{P(V)}$ sono i soli sottospazi proiettivi di dimensione 0).
Se $\dim \mathbf{W} = 2,$ allora sicuramente sarà $\mathbf{W} = \mathrm{K}^2,$ cioè $\mathbf{P(W)} = \mathbf{P^1}(\mathrm{K}).$
Quindi $\mathbf{P^1}(\mathrm{K})$ è l'unico sottospazio proiettivo di dimensione 1 di $\mathbf{P^1}(\mathrm{K}).$
In definitiva:

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \mathbf{P^1}(\mathrm{K}) \; \mathrm{contie... ...hbf{P^1}(\mathrm{K}) \; (\mathrm{dimensione} \; 1). \end{array}\end{displaymath}$

6 ESEMPIO Ragionando analogamente all'esempio 5, è facile vedere che

$\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \mathrm{i \; sottospazi \; proiettivi \; di... ...^2}(\mathrm{K}) \; \mathrm{con \; dimensione} \; 2. \end{array}\end{displaymath}$