Vediamo che $\mathbf{\bigcup_{w \in S'}<w,v>}=\mathbf{<w_1,\ldots,w_r,v>}$ con la doppia inclusione:

$\mathbf{\subseteq} \; ) \;$ Inclusione ovvia, poiché ogni $\mathbf{w} \in \mathbf{S'}$ è della forma $\sum_{i=1}^{r} a_i \mathbf{w_i},$ con $a_i \in \mathrm{K}$ per ogni $i=1,\ldots,r,$ quindi ogni $\mathbf{w} \in \mathbf{S'}$ è tale che $\mathbf{<w,v>} \subseteq \mathbf{<w_1,\ldots,w_r,v>},$ cioè $\mathbf{\bigcup_{w \in S'}<w,v>} \subseteq \mathbf{<w_1,\ldots,w_r,v>}.$

$\mathbf{\supseteq} \; ) \;$ Se $\mathbf{u} \in \mathbf{<w_1,\ldots,w_r,v>},$ sarà $\mathbf{u}= \sum_{i=1}^{r} a_i \mathbf{w_i} +b\mathbf{v},$ con $a_i \in \mathrm{K}$ per ogni $i=1,\ldots,r$ e $b \in \mathrm{K}.$ Ma $\mathbf{S'} = \mathbf{<w_1,\ldots,w_r>},$ quindi $\mathbf{\overline{w}}: \; =\sum_{i=1}^{r} a_i \mathbf{w_i} \in \mathbf{S'},$ pertanto $\mathbf{u} \in \mathbf{<\overline{w},v>} \subseteq \mathbf{\bigcup_{w \in S'}<w,v>}.$