12 PROPOSIZIONE   Sia $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ un sistema di riferimento proiettivo in $\mathbf{P(V)},$ dove $\mathcal{B} = (\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n})$ è una base di $\mathbf{V}.$ Sia $S$ un sottospazio proiettivo generato da $m+1$ punti linearmente indipendenti $P_0, P_1,\ldots,P_m,$ dove $P_i=[a_{0i},a_{1i},\ldots,a_{ni}]_{\mathcal{P}}$ per $i=0,\ldots,m$ e m è minore o uguale di n-1.
Allora un sistema di equazioni cartesiane per $S$ si ottiene cosí: si sceglie una sottomatrice quadrata $\mathsf{B}$ di ordine $m+1$ con determinante non nullo nella matrice


\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cccc} a_{00} & a_{10} & \ldots & a_{n0}... ...dots \\ a_{0m} & a_{1m} & \ldots & a_{nm} \end{array} \right)\end{displaymath}

e si pongono uguali a zero gli $n-m$ minori orlati di $\mathsf{B}$ di ordine $m+2$ nella matrice


\begin{displaymath}\mathsf{A}=\left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & \ldots & x... ...dots \\ a_{0m} & a_{1m} & \ldots & a_{nm} \end{array} \right)\end{displaymath}

Dimostrazione
Dall'osservazione 18 della sezione ''Sottospazi proiettivi'' segue che $S=L(P_0,\ldots,P_m)=\mathbf{P(<v_0,\ldots, v_m>)},$ dove $\mathbf{v_i}=(a_{0i},a_{1i},\ldots,a_{ni})_{\mathcal{B}}$ per ogni $i=0,\ldots, m.$ Sia dunque $\mathbf{S'}=\mathbf{<v_0,\ldots, v_m>}.$
Il vettore $(x_0,\ldots,x_n)_{\mathcal{B}} \in \mathbf{S'}$ se e solo se $(x_0,\ldots,x_n)_{\mathcal{B}}$ è combinazione lineare di $\mathbf{v_0,\ldots, v_m},$ quindi se e solo se $\mathrm{r} (\mathsf{A})=m+1.$ Ma secondo il principio dei minori orlati $\mathrm{r} (\mathsf{A})=m+1$ se e solo se tutti i minori orlati di una sottomatrice quadrata di ordine $m+1$ e di rango $m+1$ sono nulli.
Notiamo che si può sicuramente trovare una sottomatrice quadrata di ordine $m+1$ e di rango $m+1,$ in quanto i vettori $\mathbf{v_0,\ldots, v_m}$ sono linearmente indipendenti $($per l'indipendenza lineare dei punti $P_0,\ldots,P_m).$ Senza ledere la generalità possiamo supporre che sia per esempio la sottomatrice

\begin{displaymath}\mathsf{B}=\left( \begin{array}{cccc} a_{00} & a_{10} & \ldo... ...dots \\ a_{0m} & a_{1m} & \ldots & a_{mm} \end{array} \right)\end{displaymath}

Allora $\mathrm{r} (\mathsf{A})=m+1$ se e solo se $\left\vert \begin{array}{ccccc} x_0 & x_1 & \ldots & x_m & x_i \\ a_{00} & a_... ...vdots \\ a_{0m} & a_{1m} & \ldots & a_{mm} & a_{im} \end{array} \right\vert =0$per ogni $i=m+1,\ldots,n.$
Abbiamo quindi $n-m$ equazioni cartesiane che rappresentano $\mathbf{S'}$ $($e che quindi, per la definizione 4, rappresentano $S),$ corrispondenti agli $n-m$ modi di orlare la sottomatrice $\mathsf{B}.$
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