equazioni cartesiane di sottospazi proiettivi qualsiasi

4 DEFINIZIONE Equazioni cartesiane di sottospazi proiettivi qualsiasi
Si consideri $S=\mathbf{P(W)},$ dove $\mathbf{W}$ è il sottospazio vettoriale di $\mathbf{V}$ definito dalle equazioni cartesiane

rispetto alla base $\mathcal{B} = (\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n})$ di $\mathbf{V})$

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{lr} a_{10} x_0 +\cdots +a_{1n} x_n =0 &... ...)\\ a_{t0} x_0 +\cdots +a_{tn} x_n =0 & \; \right. \end{array}\end{displaymath}$

cioè dall'uguaglianza $\mathsf{A} \mathsf{X}=0,$ dove $\mathsf{A}$ è la matrice

$\begin{displaymath}\left( \begin{array}{ccc} a_{10} & \ldots & a_{1n}\\ \vdots ... ...eft( \begin{array}{c} x_0 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)\end{displaymath}$

vale a dire: $\mathbf{W} = \{ \mathbf{v}= (x_0,\ldots ,x_n)_{\mathcal{B}} \in \mathbf{V} : \mathsf{A} \mathsf{X} =0 \} ).$
Allora l'insieme dei punti $P \in \mathbf{P(V)}$ le cui coordinate omogenee sono soluzioni di tutte le equazioni del sistema $(\ast \ast)$ è $\mathbf{P(W)}.$
Infatti il punto $P = [\mathbf{v} ] \in S$ se e solo se (osservazione 4 della sezione ''Sottospazi proiettivi'') $\mathbf{v} \in \mathbf{W},$ ovvero se e solo se $\mathsf{A} \mathsf{X}=0,$ cosa che vale se e solo se per ogni $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast},\; \mathsf{A} (\lambda \mathsf{X})= \lambda \mathsf{A} \mathsf{X}=0,$ cioè se e solo se le coordinate omogenee di $[\mathbf{v} ]$ soddisfano il sistema di equazioni omogenee $(\ast \ast).$
Le $(\ast \ast)$ si dicono pertanto equazioni cartesiane del sottospazio proiettivo $\mathbf{P(W)}$ nel riferimento $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}.$