equazioni cartesiane di iperpiani

3 DEFINIZIONE-PROPOSIZIONE Equazioni cartesiane di iperpiani
Supponiamo assegnato un sistema di riferimento proiettivo $\mathcal{P} = \{ \mu \mathcal{B} \}_{\mu \in \mathrm{K}^{\ast}}$ in $\mathbf{P(V)},$ dove $\mathcal{B} = (\mathbf{v_0}, \ldots, \mathbf{v_n})$ è una base di $\mathbf{V}.$
Sia $a_0 x_0 + \cdots +a_n x_n =0 \; (\ast )\;$ un'equazione lineare omogenea nelle indeterminate $x_0, \ldots,x_n,$ dove $(a_0, \ldots, a_n) \neq (0, \ldots,0) \in \mathrm{K^{n+1}}.$ Sia

l'iperpiano rappresentato in $\mathbf{V}$ da tale equazione, rispetto alla base $\mathcal{B}.$
Allora l'insieme dei punti $P \in \mathbf{P(V)}$ le cui coordinate sono soluzioni dell'equazione $(\ast)$ è $\mathbf{P} (H).$ L'equazione $(\ast)$ si dice pertanto equazione cartesiana dell'iperpiano $\mathbf{P} (H)$ in $\mathbf{P(V)}$ rispetto al riferimento $\mathcal{P}.$

Dimostrazione
Poiché abbiamo a che fare con un'equazione omogenea, una (n+1)-pla $(x_0, \ldots,x_n) \in \mathrm{K}^{n+1} \backslash \{\mathbf{0}\}$ è soluzione di $(\ast)$ se e solo se lo è $(\lambda x_0, \ldots, \lambda x_n)$ per ogni $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast}.$
Quindi ha senso chiedersi se le coordinate omogenee di un punto $P \in \mathbf{P(V)}$ soddisfano tale equazione oppure no. In definitiva abbiamo: $[\mathbf{v} ]=P \in \mathbf{P}(H)$ se e solo se $\mathbf{v} \in H,$ cosa che vale se e solo se le coordinate di $\mathbf{v}$ soddisfano $(\ast),$ quindi se e solo se le coordinate di $\lambda \mathbf{v}$ soddisfano $(\ast)$ per ogni $\lambda \in \mathrm{K}^{\ast},$ cioè se e solo se le coordinate omogenee di $[\mathbf{v} ]=P$ soddisfano $(\ast).$

Ciò può essere generalizzato a un sistema di

equazioni lineari omogenee.