5 PROPOSIZIONE   D'ora in poi sia $\mathsf{X}= \left( \begin{array}{c} x_0 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right),$ come nella definizione 4. Sia $S$ un sottospazio proiettivo di dimensione $s$ di $\mathbf{P(V)}.$ Sia $\mathcal{P}$ un riferimento proiettivo di $\mathbf{P(V)}.$
Allora esistono equazioni cartesiane per $S$ rispetto a $\mathcal{P},$ cioè esiste un sistema lineare omogeneo $\mathsf{A} \mathsf{X}=0$ tale che $S=\{ [\mathbf{v} ] = [x_0, \ldots ,x_n]_{\mathcal{P}} : \mathsf{A} \mathsf{X}=0 \}$ con $\mathrm{r}(\mathsf{A})=n-s=\mathrm{codim}(S).$
Quindi il numero minimo di equazioni cartesiane necessarie per descrivere il sottospazio proiettivo $S$ è $\mathrm{codim}(S).$
Viceversa, se $\mathsf{A} \mathsf{X}=0$ è un sistema lineare omogeneo, allora $\{ [\mathbf{v}]= [x_0,\ldots ,x_n] _{ \mathcal{P}} : \mathsf{A} \mathsf{X} =0 \} $ è un sottospazio proiettivo di codimensione $\mathrm{r}(\mathsf{A})$ in $\mathbf{P(V)}.$

Dimostrazione
Sia $S= \mathbf{P(W)},$ con $\mathbf{W}$ sottospazio vettoriale di $\mathbf{V}.$ Allora esistono equazioni cartesiane per $S,$ essendo questo vero per ogni $\mathbf{W}$ sottospazio vettoriale di $\mathbf{V}.$ Inoltre vale: $s=\dim \mathbf{W} -1=\dim \mathbf{V}- \mathrm{r}(\mathsf{A})-1=\dim \mathbf{P(V)} - \mathrm{r}(\mathsf{A})=n- \mathrm{r}(\mathsf{A}).$

PAGINA PRECEDENTE INIZIO PAGINA PAGINA SUCCESSIVA PERCORSO SUGGERITO