esempio

25 ESEMPIO Consideriamo $\mathbf{P^3(R)}$ col riferimento proiettivo standard. Siano $P=[1,-1,3,2],Q=[0,0,1,2] \in \mathbf{P^3(R)}.$ I punti

sono linearmente indipendenti, in quanto $\mathrm{r} \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right)=2,$ quindi

è una retta, di equazioni parametriche $\left\{ \begin{array}{l} x_0=\lambda \\ x_1=-\lambda \\ x_2=3\lambda +\mu \\ x_3=2\lambda +2\mu \end{array}\right.$ con $[\lambda,\mu] \in \mathbf{P^1(R)}.$
Per trovare equazioni cartesiane, poi, bisogna imporre (vedi proposizione 12)

$\begin{displaymath}\mathrm{r} \left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) =2.\end{displaymath}$

Siccome $\mathrm{r} \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) =2,$ questo è equivalente a

$\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{c} \left\vert \begin{array}{ccc} x_1 & ... ...2 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \right\vert =0 \end{array}\right.,\end{displaymath}$

cioè a $\left\{ \begin{array}{l} x_1(6-2)-x_2(-2)+x_3(-1)=0 \\ x_0(6-2)-x_2(2)+x_3(1)=0 \end{array} \right. ,$ quindi $L(P,Q):\left\{ \begin{array}{l} 4x_1+2x_2-x_3=0 \\ 4x_0-2x_2+x_3=0 \end{array} \right. .$ Le due equazioni del sistema sono le equazioni di due piani in $\mathbf{P^3(R)}$ distinti, che si incontrano esattamente nella retta

Consideriamo ora il punto $T=[0,-1,4,4] \not\in L(P,Q).$ I tre punti

sono quindi non allineati in $\mathbf{P^3(R)},$ pertanto generano un piano $\pi.$ Tale piano $\pi =L(P,Q,T)$ ha equazione cartesiana (vedi esempio 14) $\left\vert \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ 0 & -1 & 4 & 4 \\ 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right\vert =0,$ cioè $x_0 \left\vert \begin{array}{ccc} -1 & 4 & 4 \\ -1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end... ...}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \\ -1 & 4 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right\vert =0,$ ovvero

cioè

questa è un'equazione cartesiana per $\pi.$
Equazioni parametriche per $\pi$ sono $\left\{ \begin{array}{l} x_0=\lambda \\ x_1=-\lambda-\gamma \\ x_2=3\lambda+\mu+4\gamma \\ x_3=2\lambda+2\mu+4\gamma \end{array} \right.$ con $[\lambda,\mu,\gamma] \in \mathbf{P^2(R)}.$