formula di Grassmann

21 DEFINIZIONE Due sottospazi proiettivi $S = \mathbf{P(U)}$ e $T = \mathbf{P(W)}$ di uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ si dicono incidenti se $S \cap T \neq \emptyset$ (e questo vale se e solo se $0 \subset \mathbf{U} \cap \mathbf{W}$ strettamente), sghembi se $S \cap T = \emptyset$

e questo vale se e solo se $0 = \mathbf{U} \cap \mathbf{W}).$

22 ESEMPIO Un punto

e un sottospazio proiettivo

sono incidenti se $P \in S,$ sghembi se $P \not \in S.$

23 PROPOSIZIONE Formula di Grassmann proiettiva
Per ogni coppia di sottospazi proiettivi

in $\mathbf{P(V)}$ vale la seguente identità:

$\begin{displaymath}\dim L(S, T) + \dim (S \cap T) = \dim S + \dim T.\end{displaymath}$

La precedente è la formula di Grassmann proiettiva, strumento molto utile per studiare le proprietà di incidenza dei sottospazi proiettivi.

Dimostrazione
Sia $S = \mathbf{P(U)},$ $T = \mathbf{P(W)}$ con $\mathbf{U}$ e $\mathbf{W}$ sottospazi vettoriali di $\mathbf{V}.$ Abbiamo visto nella proposizione 7 e nell'osservazione 13 che vale: $S \cap T = \mathbf{P(U \cap W)}$ e $L(S,T) = \mathbf{P(U + W)}.$ La proposizione viene ora immediatamente dimostrata usando la formula di Grassmann vettoriale:

$\begin{displaymath}\dim \mathbf{U} + \dim \mathbf{W} = \dim (\mathbf{U} \cap \mathbf{W}) + \dim (\mathbf{U} + \mathbf{W}).\end{displaymath}$

Da qui segue

$\begin{displaymath}(\dim \mathbf{U} - 1) + (\dim \mathbf{W} - 1) = (\dim (\mathb... ... \cap \mathbf{W}) - 1) + (\dim (\mathbf{U} + \mathbf{W}) - 1),\end{displaymath}$

cioè $\dim S + \dim T = \dim (S \cap T) + \dim L(S, T).$