posizione reciproca

25 COROLLARIO (della formula di Grassmann proiettiva)
Siano

sottospazi proiettivi di $\mathbf{P(V)}.$ Allora vale sempre:

$\begin{displaymath}\dim (S \cap T) \geq \dim S +\dim T-\dim \mathbf{P(V)}.\end{displaymath}$

Dimostrazione
Dato che $L(S,T) \subseteq \mathbf{P(V)},$ allora vale $\dim L(S,T) \leq \dim \mathbf{P(V)}.$ Sostituendo nella formula di Grassmann, si ottiene la disuguaglianza desiderata.

26 OSSERVAZIONE Se $\dim S+ \dim T \geq \dim \mathbf{P(V)},$ i sottospazi proiettivi

sono incidenti. Infatti dal corollario 25 segue $\dim (S \cap T) \geq 0,$ e questo vale se e solo se $S \cap T \neq \emptyset.$
Quindi due sottospazi proiettivi

sghembi hanno dimensioni la cui somma non supera $\dim \mathbf{P(V)}-1.$
In generale, se $\dim \mathbf{P(V)} =n,$ allora condizione necessaria affinché

siano sghembi è che $\dim S'+ \dim T' \leq n-1.$
In particolare: una retta e un iperpiano di $\mathbf{P(V)}$ hanno almeno un punto in comune.