27 ESEMPIO
Due rette distinte
ed
in un piano proiettivo si incontrano sempre, ed
esattamente in un punto. Infatti:
questo vale perché
ed
sono due rette distinte
quindi
e siamo in un piano, pertanto
28 ESEMPIO
In uno spazio proiettivo
di dimensione tre, invece, può
accadere che due rette
ed
siano sghembe
Questo effettivamente accade: se consideriamo per esempio due piani vettoriali in
che si incontrano solo nel punto
allora i loro proiettivizzati in
sono due rette sghembe.
Una retta
e un piano
però, si incontrano sempre
infatti, per il
corollario 25,
in
due modi:
questo vale se e solo se
un unico punto
questo vale se e solo se
Infine, due piani distinti
e
in uno spazio proiettivo di
dimensione tre hanno sempre in comune una retta, infatti
la dimensione di
è uguale a
poiché
e
sono distinti
quindi
e siamo in uno spazio proiettivo tridimensionale
quindi
29 ESEMPIO
In uno spazio proiettivo
di dimensione 4 due rette
ed
,
una retta
e un piano
possono essere sghembi
infatti
e
Questo accade effettivamente: basta considerare per esempio i proiettivizzati di due piani vettoriali, rispettivamente di un piano e di un sottospazio tridimensionale, che in
si incontrano solo nel punto
Due piani
e
invece, sono sempre incidenti
infatti
Vediamo in che modo possono
incontrarsi
e
sempre servendoci della formula di Grassmann
cioè
e
un punto (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3 in
la cui somma è
e la cui intersezione è una retta);
cioè
un iperpiano e
una retta (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3, la cui somma in
è un iperpiano vettoriale e la cui intersezione è un piano);
cioè
(è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di
di dimensione 3 e uguali).
Nel caso
si dice che i piani
e
sono in posizione generale,
secondo la
definizione 31.