27 ESEMPIO   Due rette distinte $r$ ed $s$ in un piano proiettivo si incontrano sempre, ed esattamente in un punto. Infatti: $\dim (s \cap r) = \dim s + \dim r - \dim L(s,
r)=1+1-2=0;$ questo vale perché $s$ ed $r$ sono due rette distinte $($quindi $\dim L(s, r) >1)$ e siamo in un piano, pertanto $\dim L(s, r)=2.$

28 ESEMPIO   In uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ di dimensione tre, invece, può accadere che due rette $r$ ed $s$ siano sghembe $(\dim r +\dim s\leq \dim
\mathbf{P(V)} -1=2).$
Questo effettivamente accade: se consideriamo per esempio due piani vettoriali in $\mathbf{R^4}$ che si incontrano solo nel punto $(0,0,0,0),$ allora i loro proiettivizzati in $\mathbf{P^3(R)}$ sono due rette sghembe.
Una retta $r$ e un piano $\pi,$ però, si incontrano sempre $($infatti, per il corollario 25, $\dim (\pi \cap r)
\geq \dim \pi + \dim r- \dim \mathbf{P(V)} = 2+1-3=0)$ in due modi:
$1)$ $r \subset \pi$ $($questo vale se e solo se $\dim (\pi \cap r) =1);$
$2)$ $r \cap \pi =$ un unico punto $($questo vale se e solo se $\dim (\pi \cap
r) = 0).$
Infine, due piani distinti $\pi$ e $\sigma$ in uno spazio proiettivo di dimensione tre hanno sempre in comune una retta, infatti $\dim (\pi \cap \sigma )=\dim
\pi + \dim \sigma -\dim L(\pi , \sigma )= 2+2-3=1$ $($la dimensione di $L(\pi,\sigma)$ è uguale a $3,$ poiché $\pi$ e $\sigma$ sono distinti $($quindi $\dim L(\pi,\sigma)>2),$ e siamo in uno spazio proiettivo tridimensionale $($quindi $\dim L(\pi,\sigma) \leq 3)).$

29 ESEMPIO   In uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ di dimensione 4 due rette $r$ ed $s$, una retta $r$ e un piano $\pi$ possono essere sghembi $($infatti $\dim r +\dim s
=2\leq \dim \mathbf{P(V)} -1=3$ e $\dim \pi + \dim r =3\leq 3).$
Questo accade effettivamente: basta considerare per esempio i proiettivizzati di due piani vettoriali, rispettivamente di un piano e di un sottospazio tridimensionale, che in $\mathbf{R^5}$ si incontrano solo nel punto $(0,0,0,0,0).$
Due piani $\pi$ e $\sigma,$ invece, sono sempre incidenti $($infatti $\dim \pi +
\dim \sigma =4 \geq \dim \mathbf{P(V)} =4).$Vediamo in che modo possono incontrarsi $\pi$ e $\sigma,$ sempre servendoci della formula di Grassmann $4=
\dim \pi + \dim \sigma = \dim (\pi + \sigma )+ \dim (\pi \cap \sigma ):$
$1)$ $4=4+0,$ cioè $\pi + \sigma = \mathbf{P(V)}$ e $\pi \cap \sigma =$ un punto (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3 in $\mathbf{R^5},$ la cui somma è $\mathbf{R^5}$ e la cui intersezione è una retta);

$2)$ $4=3+1,$ cioè $\pi + \sigma =$ un iperpiano e $\pi \cap \sigma =$ una retta (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3, la cui somma in $\mathbf{R^5}$ è un iperpiano vettoriale e la cui intersezione è un piano);

$3)$ $4=2+2,$ cioè $\pi + \sigma = \pi = \sigma = \pi \cap \sigma$ (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di $\mathbf{R^5}$ di dimensione 3 e uguali).

Nel caso $1)$ si dice che i piani $\pi$ e $\sigma$ sono in posizione generale, secondo la definizione 31.



30 ESERCIZIO   

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