esempi

27 ESEMPIO Due rette distinte

in un piano proiettivo si incontrano sempre, ed esattamente in un punto. Infatti: $\dim (s \cap r) = \dim s + \dim r - \dim L(s, r)=1+1-2=0;$ questo vale perché

sono due rette distinte

quindi $\dim L(s, r) >1)$ e siamo in un piano, pertanto $\dim L(s, r)=2.$

28 ESEMPIO In uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ di dimensione tre, invece, può accadere che due rette

siano sghembe $(\dim r +\dim s\leq \dim \mathbf{P(V)} -1=2).$
Questo effettivamente accade: se consideriamo per esempio due piani vettoriali in $\mathbf{R^4}$ che si incontrano solo nel punto

allora i loro proiettivizzati in $\mathbf{P^3(R)}$ sono due rette sghembe.
Una retta

e un piano $\pi,$ però, si incontrano sempre

infatti, per il corollario 25, $\dim (\pi \cap r) \geq \dim \pi + \dim r- \dim \mathbf{P(V)} = 2+1-3=0)$ in due modi:

$r \subset \pi$

questo vale se e solo se $\dim (\pi \cap r) =1);$

$r \cap \pi =$ un unico punto

questo vale se e solo se $\dim (\pi \cap r) = 0).$
Infine, due piani distinti $\pi$ e $\sigma$ in uno spazio proiettivo di dimensione tre hanno sempre in comune una retta, infatti $\dim (\pi \cap \sigma )=\dim \pi + \dim \sigma -\dim L(\pi , \sigma )= 2+2-3=1$

la dimensione di $L(\pi,\sigma)$ è uguale a

poiché $\pi$ e $\sigma$ sono distinti

quindi $\dim L(\pi,\sigma)>2),$ e siamo in uno spazio proiettivo tridimensionale

quindi $\dim L(\pi,\sigma) \leq 3)).$

29 ESEMPIO In uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ di dimensione 4 due rette

, una retta

e un piano $\pi$ possono essere sghembi

infatti $\dim r +\dim s =2\leq \dim \mathbf{P(V)} -1=3$ e $\dim \pi + \dim r =3\leq 3).$
Questo accade effettivamente: basta considerare per esempio i proiettivizzati di due piani vettoriali, rispettivamente di un piano e di un sottospazio tridimensionale, che in $\mathbf{R^5}$ si incontrano solo nel punto

Due piani $\pi$ e $\sigma,$ invece, sono sempre incidenti

infatti $\dim \pi + \dim \sigma =4 \geq \dim \mathbf{P(V)} =4).$ Vediamo in che modo possono incontrarsi $\pi$ e $\sigma,$ sempre servendoci della formula di Grassmann $4= \dim \pi + \dim \sigma = \dim (\pi + \sigma )+ \dim (\pi \cap \sigma ):$

cioè $\pi + \sigma = \mathbf{P(V)}$ e $\pi \cap \sigma =$ un punto (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3 in $\mathbf{R^5},$ la cui somma è $\mathbf{R^5}$ e la cui intersezione è una retta);

cioè $\pi + \sigma =$ un iperpiano e $\pi \cap \sigma =$ una retta (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di dimensione 3, la cui somma in $\mathbf{R^5}$ è un iperpiano vettoriale e la cui intersezione è un piano);

cioè $\pi + \sigma = \pi = \sigma = \pi \cap \sigma$ (è il caso dei proiettivizzati di due sottospazi vettoriali di $\mathbf{R^5}$ di dimensione 3 e uguali).

Nel caso

si dice che i piani $\pi$ e $\sigma$ sono in posizione generale, secondo la definizione 31.