TEOREMA 7:

Siano a₁,…, a_t le radici di un polinomio f(x) di K[x] di grado positivo. Allora:

Si ha l’uguaglianza se e solo se f(x) è un prodotto di fattori lineari.

Corollario 5:

Un polinomio non nullo f(x) a coefficienti in un campo K ha al più deg(f(x)) radici.

DEFINIZIONE 39:

Un campo K si dice algebricamente chiuso se ogni polinomio in K[x] di grado almeno 1 ha una radice in K.

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Dalla proposizione 31 ricaviamo che un campo K è algebricamente chiuso se e solo se tutti i polinomi irriducibili in K[x] hanno grado 1.

Una condizione equivalente è che ciascun polinomio in K[x] si scrive come prodotto di fattori lineari.

Inoltre, dal teorema 7, segue che se K è algebricamente chiuso e f(x) è un polinomio di grado positivo, con radici a₁,…, a_t, allora:

Si dice che un polinomio in un campo K algebricamente chiuso ha un numero di radici pari al grado se ciascuna radice viene contata con la propria molteplicità.

TEOREMA (fondamentale dell’algebra):

Il campo dei numeri complessi C è un campo algebricamente chiuso.