Dimostrazione
Prendiamo un polinomio f(x)
di grado almeno 1 e sia
una scomposizione di f(x)
in fattori monici irriducibili.
Se a è un elemento di K
si avrà:
e quindi a è una radice di f(x)
se e solo se a è una radice di uno dei pi(x).
Per la proposizione 31 i soli
polinomi irriducibili che ammettono una radice sono quelli di primo grado.
Supponiamo che p1(x),…,
pt(x) abbiano
grado 1 e che pt+1(x),…, pr(x)
abbiano grado maggiore di 1.
Possiamo scrivere:
Perciò f(x) avrà la
forma:
Ovviamente:
Le
radici di f(x) sono a1,…, at,
perché i pt+1(x),…, pr(x)
non hanno radici.
Se
poniamo:
Quindi mi è la molteplicità di ai
come radice di f(x).
In
altre parole, la molteplicità di una radice ai di f(x)
è l’esponente con in quale (x - ai)
compare
nella scomposizione di f(x) in fattori irriducibili.
Confrontando
i gradi nell’espressione
m1
+…+ mt + mt+1deg(pt+1(x))
+...+ mrdeg(pr(x)) = deg(f(x))
e quindi :
con l’uguaglianza se e solo se t
= r. (c.v.d.)
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