Soluzione 12.


  1. Sia √2 che √3 sono numeri algebrici perchè radici rispettivamente di x2-2 ed x2-3. Sappiamo da un corollario che la somma di numeri algebrici è ancora un numero algebrico. Dunque √2+√3 è sicuramente algebrico, a prescindere da quali polinomi a coefficienti razionali esso annulli e cioè a prescindere da quale sia il polinomio minimo su Q (che sicuramente esiste).



  1. Si ha: u=√2+√3u2=2+3+2√6(u2-5)2=24u4-10u2+1=0
quindi il polinomio x4-10x2+1 è monico ed irriducibile (vedi sotto), a coefficienti razionali e si annulla in √2+√3, pertanto è il polinomio minimo di u.

Irriducibilità di pu. Il Δ del polinomio in x2 è 96 che è maggiore di 0 ma non è un quadrato in Q, dunque pu non fattorizza su Q come (x2-a)(x2-b). Le radici reali di x4-10x2+1 considerato come polinomio in x2 sono: 5±2√6, quindi su R:

x4-10x2+1=(x2-(5+2√6))(x2-(5-2√6))

Sappiamo che u2=5+2√6, quindi le due radici reali di x2-(5+2√6) sono u e -u. Ponendo v=√3-√2 si ha v2=5-2√6, quindi le due radici reali di x2-(5-2√6) sono v e -v. Su R la fattorizzazione in irriducibili è quindi:

x4-10x2+1=(x-u)(x+u)(x-v)(x+v)

e nessuno dei fattori lineari è razionale. Si ha che i tre prodotti (x-u)(x+u)(x-u)(x-v) e (x-u)(x+v) non sono polinomi razionali e quindi si conclude, come nell'esercizio 6, che x4-10x2+1 è irriducibile su Q.



  1. Poichè u è algebrico su Q, esso è anche algebrico su ogni campo che contiene Q: basta pensare ai polinomi razionali che si annullano in u come se avessero coefficienti in un'estensione di Q (che contiene Q come sottocampo). Dunque u è algebrico su Q(√2).



  1. Il polinomio minimo non è lo stesso: p'u(x) è monico e si annulla in u, è ancora una volta irriducibile ed ha i coefficienti in Q(√2), estensione di Q. Proprio per questo ultimo fatto p'u ha grado minore di pu. Si ha: u=√2+√3(u-√2)2=3u2-2√2u-1=0 ⇒ p'u(x)=x2-2√2x-1Q(√2)[x] è quadratico e dunque è irriducibile se e solo se il discriminante non è un quadrato in Q(√2)[x]. Il discriminante è 12, non quadrato nell'estensione di Q, dunque p'u è il polinomio cercato.



  1. Ogni campo ha anche struttura algebrica di spazio vettoriale su ogni suo sottocampo dunque Q(u) estensione di Q, è spazio vettoriale sul campo razionale.



  1. Sappiamo dalla teoria che il grado dell'estensione di campi Q(u)/Q è 4 che è il grado del polinomio minimo, e che una base è data da (u0, u1, u2, u3)=(1, u, 5+2√6, 11√2+9√3). Si vede poi che un'altra base è: (1, √2, √3, √6), perchè:


ed (u2-5)/2=√6.



  1. Si ha che Q(√2+√3)=Q(√2,√3) in quanto √2+√3Q(√2,√3) perchè √2+√3 è somma di due elementi di Q(√2,√3). Allo stesso modo, Q(√2,√3)Q(√2+√3) in quanto √2Q(√2+√3) ed anche √3Q(√2+√3), come visto in (f), combinando linearmente elementi della base (1, u, u2, u3).



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