soluz_12

Soluzione 12.

Sia √2 che √3 sono numeri algebrici perchè radici rispettivamente di x²-2 ed x²-3. Sappiamo da un corollario che la somma di numeri algebrici è ancora un numero algebrico. Dunque √2+√3 è sicuramente algebrico, a prescindere da quali polinomi a coefficienti razionali esso annulli e cioè a prescindere da quale sia il polinomio minimo su Q (che sicuramente esiste).

Si ha: u=√2+√3 ⇒ u²=2+3+2√6 ⇒ (u²-5)²=24 ⇒ u⁴-10u²+1=0

quindi il polinomio x⁴-10x²+1 è monico ed irriducibile (vedi sotto), a coefficienti razionali e si annulla in √2+√3, pertanto è il polinomio minimo di u.

Irriducibilità di p_u. Il Δ del polinomio in x² è 96 che è maggiore di 0 ma non è un quadrato in Q, dunque p_u non fattorizza su Q come (x²-a)(x²-b). Le radici reali di x⁴-10x²+1 considerato come polinomio in x² sono: 5±2√6, quindi su R:

x⁴-10x²+1=(x²-(5+2√6))(x²-(5-2√6))

Sappiamo che u²=5+2√6, quindi le due radici reali di x²-(5+2√6) sono u e -u. Ponendo v=√3-√2 si ha v²=5-2√6, quindi le due radici reali di x²-(5-2√6) sono v e -v. Su R la fattorizzazione in irriducibili è quindi:

x⁴-10x²+1=(x-u)(x+u)(x-v)(x+v)

e nessuno dei fattori lineari è razionale. Si ha che i tre prodotti (x-u)(x+u), (x-u)(x-v) e (x-u)(x+v) non sono polinomi razionali e quindi si conclude, come nell'esercizio 6, che x⁴-10x²+1 è irriducibile su Q.

Poichè u è algebrico su Q, esso è anche algebrico su ogni campo che contiene Q: basta pensare ai polinomi razionali che si annullano in u come se avessero coefficienti in un'estensione di Q (che contiene Q come sottocampo). Dunque u è algebrico su Q(√2).

Il polinomio minimo non è lo stesso: p'_u(x) è monico e si annulla in u, è ancora una volta irriducibile ed ha i coefficienti in Q(√2), estensione di Q. Proprio per questo ultimo fatto p'_u ha grado minore di p_u. Si ha: u=√2+√3 ⇒ (u-√2)²=3 ⇒ u²-2√2u-1=0 ⇒ p'_u(x)=x²-2√2x-1∈Q(√2)[x] è quadratico e dunque è irriducibile se e solo se il discriminante non è un quadrato in Q(√2)[x]. Il discriminante è 12, non quadrato nell'estensione di Q, dunque p'_u è il polinomio cercato.

Ogni campo ha anche struttura algebrica di spazio vettoriale su ogni suo sottocampo dunque Q(u) estensione di Q, è spazio vettoriale sul campo razionale.

Sappiamo dalla teoria che il grado dell'estensione di campi Q(u)/Q è 4 che è il grado del polinomio minimo, e che una base è data da (u⁰, u¹, u², u³)=(1, u, 5+2√6, 11√2+9√3). Si vede poi che un'altra base è: (1, √2, √3, √6), perchè:

ed (u²-5)/2=√6.

Si ha che Q(√2+√3)=Q(√2,√3) in quanto √2+√3∈Q(√2,√3) perchè √2+√3 è somma di due elementi di Q(√2,√3). Allo stesso modo, Q(√2,√3)⊆Q(√2+√3) in quanto √2∈Q(√2+√3) ed anche √3∈Q(√2+√3), come visto in (f), combinando linearmente elementi della base (1, u, u², u³).

Torna agli esercizi.

Torna alla teoria.

Vai all'esercizio 13.