Serie Numeriche


Determinare per quali valori del parametro reale alfa le seguenti serie sono convergenti


sum (-1)^n * n^alfa * sqrt[n](n^3)

Studiamo preliminarmente la convergenza assoluta che equivale a studiare la convergenza della serie:


sum n^alfa * sqrt[n](n^3)

Il cui termine n-esimo possiamo riscriverlo come:


sum n^(alfa + 3/n) che  circa n^alfa per n che tende ad infinito

Poiché sappiamo che la serie


sum n^alfa converge se alfa < -1

per il criterio del confronto, anche la serie data converge assolutamente se alfa < -1.


Il caso della convergenza semplice è decisamente più complicato e richiede gli strumenti del calcolo differenziale.
Consideriamo quindi alfa > -1 e valutiamo innanzi tutto per quali valori di alfa risulti verificata la condizione necessaria per la convergenza.


lim n^(alfa +3/n)= 0  se -1 < alfa < 0

Quindi se riusciamo a mostrare che per alfa appartenente all'intervallo ]-1,0[ è applicabile il criterio di Leibnitz, ciò proverebbe che la serie data è semplicemente convergente.

Si tratta quindi di mostrare che:


(a_n)= n^(alfa +3/n) monotona decrescente

Per fare questo studiamo la funzione:



la cui derivata è



e per chi avesse bisogno di delucidazioni può trovare tutti i passaggi qui.


Tale derivata è negativa per tutti gli alfa nell'intervallo considerato, come mostra anche il grafico che trovate qui


Ne consegue che la funzione è decrescente, così come la successione da cui eravamo partiti. Per tanto, in virtù del criterio di Leibnitz, la serie data converge semplicemente per alfa < 0.



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