Serie Numeriche


Determinare il carattere della serie applicando il criterio più appropriato


sum 1/n -sin(1/n)

La serie è a termini positivi ed è immediato riconoscere che il limite per n che tende ad infinito del termine n-esimo sia infinitesimo.


D'altra parte, sviluppando la funzione in serie di Taylor, si ha:


sin(x) = x - 1/6*x^3 + o(x^3) (per x che tende a zero)

e conseguentemente


 1/n - 1/n + 1/6 (1/n^3) - o(1/n^3) = 1/6 (1/n^3) - infinitesimo

dunque


sum 1/n - 1/n + 1/6 (1/n^3)- o(1/n^3) < 1/6 sum 1/n^3

dove (b_n) è la successione associata alla serie armonica generalizzata con esponente pari a tre che sappiamo essere assolutamente convergente.
Ne concludiamo che per il criterio del confronto la serie data converge.



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