Combinazione lineare di serie convergenti
Ipotesi:
Tesi:
Dimostrazione:
Se le due serie convergono significa, per definizione, che esistono finiti i limiti delle successioni delle somme parziali. Ora poiché la seguente relazione risulta vera per ogni n naturale
passando al limite a destra e a sinistra dell'uguale si ottiene:
e ciò, unito alle ipotesi, prova che il limite a sinistra (che ovviamente rappresenta la successione delle somme parziali della serie somma) esiste finito e dunque la serie è convergente.