Serie Numeriche

Teorema di Cauchy

Ipotesi:

Tesi:

Tale condizione è necessaria e sufficiente per la convergenza della serie

Dimostrazione:

Per definizione una serie è convergente se e solo se la successione delle somme parziali ha limite finito e ciò significa che tale successione ha per punto di accumulazione un numero reale o in altre parole essa è convergente come successione a tale numero reale. Essendo R sequenzialmente completo (ovvero ogni successione di Cauchy in R è convergente), la serie data converge se e solo se la successione delle somme parziali è una successione di Cauchy e quindi risulta:

che è esattamente quanto si voleva provare.


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