Clasificazione

Proposizione

Dimostrazione di riduzione

Osservazioni

Classificazione Euclidea

Dimostrazione:

Sappiamo dal teorema spettrale che esiste una matrice $\,\mathcal{M} \in O(3) \,$ tale che $\:\mathcal{B}_0 = \,^t\mathcal{M} \mathcal{A}_0 \mathcal{M} \:$ è una matrice diagonale; gli elementi diagonali di $\,\mathcal{B}_0 \,$ sono gli autovalori di $\,\mathcal{A}_0$. Supponiamo che la quadrica abbia un centro $\,u$, cosicchè se

$$\widetilde{\mathcal{M}} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ u & \mathcal{M}\\ \end{array} \right)$$      allora       $$\mathcal{B}\: = \hspace{2mm} ^t\widetilde{\mathcal{M}} \hs... ..._2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda_3 \\ \end{array} \right)$$

per un certo $\,c\in \mathbb {R}$.   Ora $\,det \widetilde{\mathcal{M}} = det \mathcal{M} = \pm 1$, e quindi

$$c det \mathcal{A}_0 = c \lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = det \mathcal{B} = (det \mathcal{Q})^2 det \mathcal{A} = det \mathcal{A}.$$

Se la quadrica è non degenere, e quindi $\,c \neq 0, \lambda_1 \neq 0, \lambda_2 \neq 0, \lambda_3 \neq 0,$ questo dà una comoda formula per $\,c$, ossia $\,c=\displaystyle \frac{det \mathcal{A}}{det \mathcal{A}_0}$.
L'equazione diventa

$$\lambda_1 x^2 + \lambda_2 y^2 + \lambda_3 z^2 + \frac{det \mathcal{A}}{det \mathcal{A}_0} = 0$$

e quindi, moltiplicando per $\;-\displaystyle\frac{{det \mathcal{A}_0}}{{det \mathcal{A}}}$, otteniamo l'asserto.

Se invece $\,\mathcal{Q} \,$ non ha centro allora il rango di $\,\mathcal{A}_0 =2 \,$ quindi un autovalore è nullo. Supponiamo sia $\,\lambda_3 \,$. Esiste un riferimento ortonormale rispetto al quale la quadrica ha matrice

$$\mathcal{B}\: = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & b ... ... \lambda_2 & 0 \\ b & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right)$$

con $\,b > 0\,$. Scambiando la prima e l'ultima colonna possiamo calcolare che

$$det \mathcal{A} = det \mathcal{B} = -b^2 \lambda_1 \lambda_2$$

da cui $\;b = \sqrt{-\displaystyle\frac{{det \mathcal{A}}}{{\lambda_1 \lambda_2}}}$.

Dal calcolo del polinomio caratteristico di $\,\mathcal{A}_0 \,$ si vede che il prodotto $\,\lambda_1 \lambda_2 \,$ è uguale all'opposto del coefficiente di grado 1. Se chiamo $\,\beta \,$ questo coefficiente abbiamo che $\;b = \sqrt{\displaystyle\frac{{det \mathcal{A}}}{{\beta}}}$.