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IL PROBLEMA
DEL V POSTULATO
Nei 2100 anni successivi alla pubblicazione
degli ELEMENTI, diversi matematici e filosofi si
sono chiesti se il V postulato sia da includere tra gli assiomi
fondamentali.
Assiomi e postulati, infatti, non valgono solo come punto
di partenza per la deduzione formale, ma anche come principi
veri di per sé, che garantiscono il contenuto della
scienza che viene edificata a partire da essi proprio con
la loro evidenza.
Il V postulato suscitò diverse perplessità circa
la sua evidenza che dovevano aver tormentato lo stesso Euclide.
Nessun teorema fino al teorema 29, infatti, dipende da esso,
mentre tutti i teoremi successivi (escluso il 31) sì;
questo fa sospettare che Euclide abbia cercato di differire
l'uso del V postulato il più a lungo possibile.
Ci sono inoltre dei teoremi che egli dimostra senza ricorrere
al V postulato, nonostante la dimostrazione sarebbe stata
più semplice con l'introduzione di esso. Si direbbe
dunque che Euclide abbia cercato di ottenere il maggior numero
di proposizioni senza utilizzare il V postulato. Per spiegare
questo modo di procedere potremmo ipotizzare che Euclide abbia
cercato di dimostrare il V postulato partendo dai primi quattro
per ottenerlo come teorema. Non giungendo però alla
dimostrazione, essendo tuttavia convinto della verità
di tale proposizione, la inserì fra i postulati.
Dunque il primo uomo a sfidare Euclide fu Euclide stesso!
Per evidenziare il fatto che è ragionevole avanzare
dubbi sull'evidenza del V postulato, esaminiamo in dettaglio
cosa esso afferma.
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Se sono date due rette r ed s che formano
con la trasversale t angoli la cui somma è "piccola",
è evidente che le rette si incontrano in un punto P,
come richiesto dal V postulato.
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Se si mantengono fisse t ed
s e si fa ruotare r in senso antiorario
intorno a B, il postulato afferma che
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r continuerà ad incontrare
s finchè a
+ b <
2 retti.
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Possiamo però notare che, al ruotare
di r, il punto P si allontana sempre di
più da A su s, finendo per uscire
dallo schermo e cessando di essere osservabile. Quindi non
è possibile verificare che la retta r non
abbia più un punto in comune con s quando
a + b
= 2 retti.
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Il diverso grado di evidenza del V postulato
può essere rilevato in modo ancora più convincente
se si fa riferimento ad un'altra sua possibile formulazione:
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dati in un piano una retta e un punto
fuori di essa, esiste nel piano una sola retta passante per
il punto e parallela alla retta data.
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Questa proposizione, ad esempio, risulta
falsa in un universo di dimensioni finite.
Immaginiamo infatti che il piano contenente r e P
sia limitato alla zona interna ad un cerchio, si vede immediatamente
che vi sono molte rette passanti per P che non incontrano
r, contro la nuova formulazione del V postulato.
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All'aumentare del raggio del cerchio,
diminuisce la quantità di rette passanti per P
che non incontrano r, ma esse restano sempre in numero
infinito.
Cosa ci assicura che questa situazione non sussista più
quando il piano è illimitato?
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La verità del V postulato non è affatto immediata!
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Euclide non riuscì a dimostrare
il V postulato e a depennarlo dalle proposizioni primitive,
da allora, per più di 20 secoli, tutta la matematica
occidentale cercherà di farlo.
A tal scopo si offrono due possibilità:
- ottenere una dimostrazione del V postulato a partire dagli
altri e dalle proposizioni da essi dedotte.
- determinare una proposizione equivalente al V postulato,
ma che risulti evidente e si possa annoverare senza difficoltà
fra i postulati. |
Tabella con elenco
postulati sostitutivi |
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| N.B. Qualunque postulato sostitutivo è logicamente
equivalente al V postulato, dunque è da esso indistinguibile
dal punto di vista logico. |
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