La rivoluzione non euclidea è "una rivoluzione scientifica, importante quanto la rivoluzione copernicana in astronomia, la rivoluzione darwiniana in biologia, o quanto la rivoluzione newtoniana o quella del secolo XX in fisica, rivoluzione che è però di gran lunga meno nota perché i suoi effetti sono stati più indiretti: una rivoluzione nata dall'invenzione di un'alternativa alla tradizionale geometria euclidea." [TR]

Il primo ad introdurre l'astrazione in geometria fu Talete (600 a.C.); prima di lui "geometria" [dal greco Geo, terra, e metrein, misurare] significava "agrimensura", e gli enti geometrici non erano intesi in senso ideale, ma come oggetti particolari, materiali, come campi, recinti..
Egli le concepì come forme astratte suscettibili di trattazione puramente razionale con valore di universalità, e scoprì un ORDINE nell'insieme di conoscenze geometriche, regole pratiche e formule numeriche, tramandato da Babilonesi ed Egizi che le avevano stabilite più o meno empiricamente, studiando vari casi particolari.
Talete suggerì di fare della geometria un'attività puramente speculativa, possiamo dunque far risalire al suo tempo le origini della GEOMETRIA DEDUTTIVA.
Pitagora (570-495 circa) abbracciò questa concezione della geometria e fondò a Crotone una comunità di uomini e donne che manifestavano una profonda dedizione per la matematica, concepita come vera e propria chiave di lettura per la natura.
Sebbene la "comunità dei Pitagorici" ebbe vita breve, le loro dottrine influenzarono il pensiero greco molto a lungo, lasciando in eredità un modo di pensare "rigoroso" grazie al quale vengono prima definiti i termini, poi formulati i principi (avendo cura di non introdurre ipotesi non esplicitate) ed infine dimostrati i teoremi utilizzando la sola logica.
Nel V sec a.C., quando ancora la matematica non era una disciplina rigorosa, i matematici avevano già elaborato lunghe serie di teoremi geometrici che iniziavano da generalizzazioni dell'esperienza (che naturalmente non erano dimostrate) e in cui ogni teorema veniva dedotto, in modo non formale, da quelli precedenti.
Ma perché non unire tutte queste catene deduttive in un unico sistema, basato su un ristretto numero di generalizzazioni dell'esperienza, capace di contenere una vasta gamma di conoscenze geometriche elementari?
E' ciò che fece Ippocrate di Chio in un libro intitolato ELEMENTI verso la fine del secolo, più o meno all'epoca della dimostrazione della non- razionalità di . A lui è dovuto il primo tentativo di esposizione sistematica della geometria; il suo libro, che andò perduto, costituiva il primo precedente degli ELEMENTI di Euclide.
In seguito vennero formulati altri sistemi geometrici completi: un libro di ELEMENTI fu scritto da un matematico di nome Leone attivo attorno al 380 a.C.; un altro ELEMENTI, poco posteriore, fu opera di Teudo di Magnesia, membro dell'Accademia platonica.
Ad ognuno di questi sistemi ci si riferiva come agli ELEMENTI e probabilmente ognuno si presentava come un miglioramento dei precedenti.
Questa serie culminò con i famosi ELEMENTI di Euclide, ultimati circa nel 300 a.C.. Essi costituiscono un unico sistema deduttivo di 465 teoremi che contiene, oltre ad un'enorme quantità di geometria elementare, numerosi elementi di algebra e teoria dei numeri.
Gli ELEMENTI divennero il testo di riferimento di geometria e ben presto eclissarono ogni tentativo di sistemazione precedente.
Possiamo considerarlo il primo vero e proprio trattato di matematica che ci sia pervenuto, ed il libro di testo di maggior successo che sia mai stato scritto.
Gli ELEMENTI di Euclide hanno avuto più di 1000 edizioni e sono stati adottati fino al secolo scorso (e a volte ancora oggi).
Dal loro primo apparire essi rappresentano l'archetipo del trattato scientifico.

Due aneddoti su Euclide