La geometria assume eleganza e concatenazione
logica. Gli Elementi di Euclide sono stati spesso considerati
"Summa delle conoscenze matematiche del mondo greco",
ma tale definizione rischia di essere riduttiva, in quanto
nell'opera vi sono anche, il risultato di tutte le indagini
filosofiche fino da allora condotte sulle metodologie più
opportune per stabilire la conoscenza scientifica. Fu la geniale
mente di Euclide ad applicare lo sviluppo del ragionamento
come "riduzione all'assurdo", secondo il metodo
che aveva preso le mosse con Zenone ed era stato poi elaborato
da Platone ed Aristotele; fu lui ad utilizzare l'impianto
delle "definizioni", dei "postulati" e
degli "assiomi" aristotelici, come anche il "metodo
dell'esaustione" per dare ordine e forma a quelle conoscenze
matematiche che costituivano un campo affascinante e amato
dai greci, ma ancora troppo abbandonato a se stesso.
"I tredici libri" I primi 4 libri trattano le proposizioni
fondamentali della geometria piana e precisamente:libro I:
teoria dell'uguaglianza e dell'equivalenza libro II: algebra
geometrica libro III: proprietà del cerchio libro IV:
proprietà dei poligoni regolari libro V: ha carattere
più generale e riguarda la teoria delle proporzioni
tra grandezze libro VI: applicazione alle figure piane della
teoria trattata nel libro V libri VII, VIII e IX: numeri interi
e loro proprietà libro X: numeri razionali e in particolare
i radicali quadratici libri XI, XII e XIII: geometria solida.
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| Il LIBRO I degli Elementi
è il più poderoso ed in esso si trova praticamente
tutta la geometria piana che si studia a scuola. Contiene
23 termini (pseudo-definizioni), 5 postulati e 5 nozioni comuni.
I
termini:
I. Punto è ciò che non ha parti.
II. Linea è lunghezza senza larghezza.
III. Estremi di una linea sono punti.
IV. Linea retta è quella che giace ugualmente rispetto
ai suoi punti.
V. Superficie è ciò che ha soltanto lunghezza
e larghezza.
VI. Estremi di una superficie sono linee.
VII. Superficie piana è quella che giace ugualmente
rispetto alle rette su di essa.
VIII. Angolo piano è l'inclinazione reciproca di due
linee su un piano, le quali si incontrino fra loro e non giacciano
in linea retta.
IX. Quando le linee che comprendono l'angolo sono rette, l'angolo
si chiama rettilineo.
X. Quando una retta innalzata su una retta forma gli angoli
adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli uguali
è retto, e la retta innalzata si chiama perpendicolare
a quella su cui è innalzata.
XI. Angolo ottuso è quello maggiore di un retto.
XII. Angolo acuto è quello minore di un retto.
XIII. Termine è ciò che è estremo di
qualche cosa.
XIV. Figura è ciò che è compreso da uno
o più termini.
XV. Cerchio è una figura piana compresa da un'unica
linea [che si chiama circonferenza] tale che tutte le rette,
le quali cadano sulla linea, a partire da un punto fra quelli
che giacciono internamente alla figura, sono uguali fra loro.
XVI. Quel punto si chiama centro del cerchio.
XVII. Diametro del cerchio è una retta condotta per
il centro e terminata da ambedue le parti dalla circonferenza
del cerchio, la quale retta taglia anche il cerchio per metà.
XVIII. Semicerchio è la figura compresa dal diametro
e dalla circonferenza da esso tagliata. E centro del semicerchio
è
quello stesso che è anche centro del cerchio.
XIX. Figure rettilinee sono quelle comprese da rette, vale
a dire: figure trilatere quelle comprese da tre rette,
quadrilatere quelle comprese da quattro e multilatere quelle
comprese da più di quattro rette.
XX. Delle figure trilatere è triangolo equilatero quello
che ha i tre lati uguali, isoscele quello che ha soltando
due lati
uguali e scaleno quello che ha i tre lati disuguali.
XXI. Infine, delle figure trilatere è triangolo rettangolo
quello che ha un angolo retto, ottusangolo quello che ha un
angolo ottuso e acutangolo quello che ha i tre angoli acuti.
XXII. Delle figure quadrilatere è quadrato quella che
è insieme equilatera e ha gli angoli retti, rettangolo
quella che ha
gli angoli retti ma non è equilatera, rombo quella
che è equilatera ma non ha gli angoli retti, romboide
quella ha i
lati e gli angoli opposti uguali fra loro, ma non è
equilatera né ha gli angoli retti. E le figure quadrilatere
oltre a
queste si chiamino trapezi.
XXIII. Parallele sono quelle rette che essendo nello stesso
piano e venendo prolungate illimitatamente dall'una e dall'altra
parte, non si incontrano fra loro da nessuna delle parti.
Le Nozioni comuni:
I. Cose che sono uguali a una stessa sono uguali anche fra
loro.
II. E se cose uguali sono addizionate a cose uguali, le totalità
sono uguali.
III. E se da cose uguali sono sottratte cose uguali, i resti
sono uguali.
IV. E se cose uguali sono addizionate a cose disuguali, le
totalità sono disuguali.
V. E doppi di una stessa cosa sono uguali tra loro.
VI. E metà di una stessa cosa sono uguali fra loro.
VII. E cose che coincidono fra loro sono uguali.
VIII. E il tutto è maggiore della parte.
I cinque postulati:
"Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad
ogni altro punto una linea retta ;"
"e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente
per dritto;"
"e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere
un circolo;"
"e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro;"
"e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli
interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le
due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte
in cui sono gli angoli minori di due retti".
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