Proposizione 4 Se

sono gruppi topologici, un omomorfismo di gruppi è un morfismo di gruppi topologici se e solo se è continuo in un punto.

Dimostrazione
Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi continuo in un punto $a\in G$ . Sia $x\in G$ e sia un intorno di . si può scrivere nella forma $f(x)(f(a))^{-1}V'$ con intorno di . Inoltre $V=f^{-1}(V')$ è un intorno di (infatti per continuità in , esiste intorno di tale che $f(U)\subset V'$ , quindi $U\subset f^{-1}f(U)\subset f^{-1}(V')$ ) e quindi $xa^{-1}V$ è un intorno di . Essendo un omomorfismo di gruppi, ed essendo $f(V)=ff^{-1}(V')\subset V'$ , si ha poi:

$\begin{displaymath}f(xa^{-1}V)=f(x)(f(a))^{-1}f(V)\subset f(x)(f(a))^{-1}V'=W,\end{displaymath}$

cioè

è continua in

Esempi 5

1)

L'applicazione

$\begin{displaymath}\exp:(\mathbb{R} ,+)\longrightarrow (\mathbb{R} ^{+},\cdot)\end{displaymath}$

è un isomorfismo di gruppi topologici il cui inverso è l'applicazione

$\begin{displaymath}\log:(\mathbb{R} ^{+},\cdot)\longrightarrow(\mathbb{R} ,+).\end{displaymath}$

2)

L'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:&(\mathbb{R} ,+)&\longrightarrow&S^{1}\\ &t&\longmapsto&\exp(2\pi it)\end{array}\end{displaymath}$

è un morfismo di gruppi topologici.

3)

$(\mathbb{C} ^{*},\cdot)$ e $\mathbb{R} ^{+}\times S^{1}$ sono isomorfi come gruppi topologici. Infatti

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:& \mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow& \math... ...&z&\longmapsto&(\vert z\vert,\frac{z}{\vert z\vert})\end{array}\end{displaymath}$

è un isomorfismo di gruppi topologici. Infatti

è un isomorfismo di gruppi ( esercizio 24), è continua essendo ogni componente continua, e la sua inversa

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f^{-1}:&\mathbb{R} ^{+}\times S^{1}&\longr... ...\\ & (r,\exp(i\varphi))&\longmapsto& r\exp(i\varphi)\end{array}\end{displaymath}$

è anch'essa continua (è la restrizione dell'applicazione prodotto in $\mathbb{C} ^{*}$ : $(x,y)\longmapsto xy$ ).