Teorema 6   Sia $f:G\longrightarrow G'$ un morfismo di gruppi topologici. Se $f$ è aperta (o chiusa) allora $G/ \ker f$ e $Im f$sono isomorfi come gruppi topologici.

Dimostrazione
Sia $\varphi: G/ \ker f\longrightarrow Imf$ l'isomorfismo di gruppi indotto da $f$. Proviamo che $\varphi$ è continua e aperta.
Consideriamo il diagramma commutativo

\begin{displaymath}\begin{CD}G@>f>> G'\\ @V\pi VV @ AA i A\\ G/\ker f @ >>\varphi>Im f \end{CD}\end{displaymath}

dove $\pi$ è la proiezione di $G$ su $G/ \ker f$.
$-$
$\varphi$ è continua:
sia $V$ un aperto di $G'$: $\pi^{-1}(\varphi^{-1}(V))=(\varphi\circ \pi)^{-1}(V)=f^{-1}(V)$ è aperto essendo $f$ continua, quindi $\varphi^{-1}(V)$ è un aperto di $G$.
$-$
$\varphi$ è aperta:
sia $U$ un aperto di $G/ \ker f$, cioè $\pi^{-1}(U)$ è aperto in $G$, e $U=\pi(\pi^{-1}(U))$. Allora $\varphi(U)=\varphi(\pi(\pi^{-1}(U)))=f(\pi^{-1}(U))$ è aperto essendo $f$aperta.
Se $f$ è chiusa la dimostrazione è analoga.

Esempio 7   I gruppi topologici $\mathbb{R} /\mathbb{Z} $ e $S^{1}$sono isomorfi.
Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f:&\mathbb{R} &\longrightarrow&S^{1}\\ &t&\longmapsto&\exp(2\pi it).\end{array}\end{displaymath}

$f$ è un morfismo di gruppi topologici suriettivo, ed è aperta, in quanto se $A$ è un aperto di $\mathbb{R} $, se cioè $A$ è unione di intervalli aperti, $f(A)$ è unione di archi aperti della circonferenza $S^{1}$, ed è dunque un aperto di $S^{1}$. Allora per il teorema 6, essendo $\ker f=\{t\in \mathbb{R} \vert\,\exp(2\pi it)=1\}=\mathbb{Z} $, $\mathbb{R} /\mathbb{Z}\simeq S^{1}$.


previous up