Teorema 1 Siano

due gruppi, e sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo. Allora l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \psi: & G/\ker f & \longrightarrow & Imf\\ & [x] & \longmapsto & f(x) \end{array} \end{displaymath}$

è ben definita, ed è un isomorfismo di gruppi.

Dimostrazione
Poniamo $H=\ker f.$
$\psi$ è ben definita:
se , $x\equiv y\; (modH)$ , cioè $x y^{-1}=h$ , per un certo $h\in H$ , e quindi . Allora
$\psi$ è un omomorfismo:
$\psi(Hx Hy)=\psi(Hxy)=f(xy)=f(x)f(y)=\psi(Hx) \psi(Hy)$ , $\forall Hx,Hy \in G/H.$
$\psi$ è biunivoca:
$\psi$ è suriettiva in quanto $\forall y\in Imf$ , $\exists x\in G$ tale che $y=f(x)=\psi(Hx)$ , ed è iniettiva essendo $\ker \psi =\{Hx\mid f(x)=1'\}=\{Hx\mid x\in H\}=H.$

Proposizione 3 Sia

un gruppo ciclico.
Se l'ordine di

è infinito, allora $G\simeq \mathbb{Z} .$
Se l'ordine di

, allora $G\simeq\mathbb{Z} _{m}.$
Dimostrazione
Sia

Consideriamo l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f: & \mathbb{Z} & \longrightarrow & G \\ \quad & n & \longmapsto & a^{n}. \end{array}\end{displaymath}$

è un omomorfismo ( esempi 4 della sezione "Omomorfismi di gruppi"), ed è suriettivo essendo

ciclico. Per teorema 1, si ha allora:

$\begin{displaymath}\mathbb{Z} /\ker f \simeq G.\end{displaymath}$

Consideriamo $\ker f=\{n\in \mathbb{Z}\mid a^{n}=1\}.$
Se $\vert G\vert$ e $\vert a\vert$ , sono infiniti, $\ker f=\{0\}$ , e quindi $G\simeq \mathbb{Z} /\{0\}=\mathbb{Z} .$
Se invece $\vert G\vert=\vert a\vert=m$ , $a^{n}=1$ se e solo se $m\mid n$ (proposizione 6 della sezione "Gruppi e sottogruppi ciclici"), cioè se e solo se

, $k\in \mathbb{Z} .$ Allora $\ker f=\{n\mid n=m k\;,\;k\in \mathbb{Z}\}=<m>$ , e quindi $G\simeq \mathbb{Z} /<m>=\mathbb{Z} _{m}.$

Osservazione 4 In particolare, due gruppi ciclici dello stesso ordine sono isomorfi.