Esempi 4  
1)
Sia $G$ un gruppo. La funzione identità

\begin{displaymath}id_{G}: G \longrightarrow G \end{displaymath}

è un omomorfismo. Più in generale, se $H$ è un sottogruppo di $G$,

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} i:&H&\longrightarrow &G\\ &h&\longmapsto&h\end{array}\end{displaymath}

è un omomorfismo iniettivo.
2)
Le funzioni

\begin{displaymath}\exp:(\mathbb{R} ,+)\longrightarrow (\mathbb{R} ^{+},\cdot)\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}\log:(\mathbb{R} ^{+},\cdot)\longrightarrow (\mathbb{R} ,+)\end{displaymath}

sono omomorfismi di gruppi.
3)
Sia $G$ un gruppo e sia $a \in G$. La funzione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f_{a}:& \mathbb{Z} &\longrightarrow & G\\ & n &\longmapsto & a^{n}\end{array}\end{displaymath}

è un omomorfismo dal gruppo $(\mathbb{Z} ,+)$ a $(G,\cdot)$; infatti:
$f(m + n) = a^{m + n} = a^{m}a^{n} = f(m) f(n)$, $\forall n,m \in \mathbb{Z} $.
4)
Sia $G$ un gruppo abeliano e sia $n \in \mathbb{Z} $. La funzione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f_{n} :& G & \longrightarrow & G\\ & a & \longmapsto & a^{n}\end{array}\end{displaymath}

è un omomorfismo; infatti:
$f(ab) = (ab)^{n}= a^{n}b^{n} = f(a)f(b)$, $\forall a,b \in G$ .
5)
Sia $G$ un gruppo e sia $H$ un suo sottogruppo normale.
L'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} \pi : & G & \longrightarrow & G/H \\ & x & \longmapsto & Hx \end{array}\end{displaymath}

è un omomorfismo suriettivo detto proiezione di $G$ sul quoziente $G/H$.
Verifichiamo che $\pi$ è un omomorfismo:
$\pi(xy) = Hxy = Hx Hy = \pi(x)\pi(y)$, $\forall x , y \in G$.


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