Definizione 1 Un omomorfismo (di gruppi) è un'applicazione

$\begin{displaymath}f : G \longrightarrow G',\end{displaymath}$

dove

sono gruppi, tale che

$\begin{displaymath}f(ab) = f(a)f(b),\quad \forall a , b \in G.\end{displaymath}$

Proposizione 2 Sia $f : G\rightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi, e siano

gli elementi neutri rispettivamente di

. Allora:

1): ;
2): $f(x^{-1}) = f(x)^{-1}$ , $\forall x\in G$ ;
3): $f(x^{n}) = f(x)^{n}$ , $\forall x\in G$ , $\forall n \in \mathbb{Z}$ .

Dimostrazione

1)

$f(1) = f(1\cdot 1) = f(1) f(1)$ ; per le leggi di cancellazione si ha :

2)

$1' = f(1) = f(xx^{-1}) = f(x)f(x^{-1})$ , quindi $f(x)^{-1}= f(x^{-1})$ .

3)

Supponiamo $n \geq 0$ , e procediamo per induzione su

.
Se

, $f(x^{0}) = f(1) = 1' = f(x)^{0}$ .
Supponiamo vero l'asserto per

e proviamolo per

; si ha :

$\begin{displaymath}f(x^{n}) = f(x^{n-1} x) = f(x^{n-1}) f(x) = f(x)^{n-1}f(x) = f(x)^{n}.\end{displaymath}$

Se invece

, si ha:

$\begin{displaymath}f(x^{n}) = f((x^{-n})^{-1}) = f(x^{-n})^{-1} = (f(x)^{-n})^{-1} = f(x)^{n}.\end{displaymath}$

Proposizione 3 Sia $f:G\longrightarrow G'$ un omomorfismo di gruppi. Allora se è un sottogruppo di , è un sottogruppo di ; se è un sottogruppo di , $f^{-1}(K)$ è un sottogruppo di .

Dimostrazione
è un sottogruppo di :

$1'=f(1)\in f(H)$ ;
se $y_{1}, y_{2}\in f(H)$ , esistono $h_{1},h_{2}\in H$ tali che $y_{1}=f(h_{1})$ e $y_{2}=f(h_{2})$ . Allora $y_{1}y_{2}=f(h_{1})f(h_{2})=f(h_{1}h_{2})\in f(H)$ ;
se $y\in f(H)$ , esiste $h\in H$ tale che . Allora $y^{-1}=f(h)^{-1}=f(h^{-1})\in f(H)$ .

$f^{-1}(K)$ è un sottogruppo di

$f(1)=1'\in K$ , quindi $1\in f^{-1}(K)$ ;
se $x_{1},x_{2}\in f^{-1}(K)$ , allora $f(x_{1}),f(x_{2})\in K$ , cioè $f(x_{1})f(x_{2})=f(x_{1}x_{2})\in K$ ; quindi $x_{1}x_{2}\in f^{-1}(K)$ ;
se $x\in f^{-1}(K)$ , allora $f(x)\in K$ , cioè $f(x)^{-1}=f(x^{-1})\in K$ ; quindi $x^{-1}\in f^{-1}(K)$ .