Proposizione 2
Sia
un omomorfismo di gruppi, e siano
,
gli elementi neutri rispettivamente di
e
.
Allora:
- 1)
- ;
- 2)
-
,
;
- 3)
-
,
,
.
Dimostrazione
- 1)
-
;
per le
leggi
di cancellazione si ha : .
- 2)
-
,
quindi
.
- 3)
- Supponiamo ,
e procediamo per
induzione su .
Se ,
.
Supponiamo vero
l'asserto per
e proviamolo per ;
si ha :
Se invece ,
si ha:
Proposizione 3
Sia
un omomorfismo di gruppi. Allora se
è un sottogruppo di ,
è un sottogruppo di ;
se
è un sottogruppo di ,
è un sottogruppo di
.
Dimostrazione
è un sottogruppo di :
-
;
- se
,
esistono
tali che
e
.
Allora
;
- se ,
esiste
tale che .
Allora
.
è un sottogruppo di
:
-
,
quindi
;
- se
,
allora
,
cioè
;
quindi
;
- se
,
allora ,
cioè
;
quindi
.