Soluzione
a)
$f(zw)=(zw)^{n}=z^{n}w^{n}=f(z)f(w)$, $\forall z,w \in \mathbb{C} ^{*}.$
Inoltre $\ker f=\{z\in \mathbb{C} ^{*}\vert\,z^{n}=1\}$, cioè il nucleo di $f$, è l'insieme delle radici n-esime dell'unità. L'immagine di $f$ coincide invece con $\mathbb{C} ^{*}$.
b)
$g(xy)=\vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert=g(x)g(y)$, $\forall x,y\in
\mathbb{Q} ^{*}$.
Il nucleo di $g$ è l'insieme $\{x\in
\mathbb{Q} ^{*}\vert\,\vert x\vert=1\}=\{1,-1\}$; l'immagine di $g$ è invece $\mathbb{Q} ^{+}$.
c)
$f(zw)=(\vert zw\vert,\frac{zw}{\vert zw\vert})=
(\vert z\vert\vert w\vert,\frac...
...t z\vert,\frac{z}{\vert z\vert})(\vert w\vert,\frac{w}{\vert w\vert})=
f(z)f(w)$, $\forall z,w \in \mathbb{C} $. Si ha poi: $\ker h=\{z\in
\mathbb{C} ^{*}\vert\,\vert z\vert=1,\,z=1\}=\{1\}$ e $Im h=\mathbb{R} ^{+}\times
S^{1},$ infatti, se $(\rho,\exp(i\theta))\in \mathbb{R} ^{+}\times S^{1}$, si ha $h(\rho\exp(i\theta))=(\rho,\exp(i\theta))$; $h$ è dunque un isomorfismo.







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