.

2. ESERCIZI

2.1 Dimostrare che l'applicazione $\varphi$ della definizione 1 è unica, per cui essa è la parte lineare di

; scriveremo anche $\varphi=\Phi(f)$ ove $\Phi:\;\mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A},\mathcal{A}')\;\longrightarrow\;\mathsf{Hom}_{\mathbf{K}}(\mathbf{V},\mathbf{V}')$ , applicazione che associa ad un'applicazione affine la sua parte lineare, è ben definita proprio grazie al risultato di questo esercizio.

2.2 Le traslazioni di $\mathcal{A}$ sono tutte e sole le applicazioni affini di $\mathcal{A}$ in $\mathcal{A}$ con parte lineare $id_{\mathbf{V}}$ .

Si noti che, riferendoci alle notazioni introdotte nell'esercizio precedente, ciò si può scrivere dicendo che $\Phi^{-1}(id_{\mathbf{V}})=\{\mathsf{T}_{\mathbf{v}}\;,\;\mathbf{v} \in \mathbf{V}\}$ -